Презентация на тему "Особые случаи пересечения"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Особые случаи пересечения

  Две поверхности 2-ого порядка пересекаются в общем случае по кривой 4-ого порядка (2х2) В особых случаях линия пересечения распадается на 2 и более, но порядок при этом не меняется. 4=2+1+1 4=1+1+1+1

• 
  Слайд 2
  

  Если две поверхности 2-ого порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной кривой, которая тоже является плоской. Теорема 1

• 
  Слайд 3
  

  Теорема 1 Задача. Построить линию пересечения полусферыи конуса. 1. Заданные поверхности 2-го порядка имеют общее основание (окружность). Имеется общая плоскость симметрии Λ.

• 
  Слайд 4
  

  Теорема 1 2. Линия пересечения распалась на две замкнутые плоские кривые линии: окружность 1-2и часть окружности 5-6-3-6'-5',котораяпроецируется на П1 в часть эллипса.

• 
  Слайд 5
  

  Теорема 1 3. Опорные точки 3и4(очерковые на П2) определены с помощью общей плоскости симметрии Λ (по правилуочерк - ось).

• 
  Слайд 6
  

  Теорема 1 Опорные точки 5и5' (очерковые на П1) определены по принадлежности окружностиа.

• 
  Слайд 7
  

  Теорема 1 4. Промежуточные точки 6и6' (для построения эллипса) определены по принадлежности полусфере (радиус окружности –от оси до очерка).

• 
  Слайд 8
  

  Теорема 1 5. Найденные точки 5, 6, 3, 6',5' на П1 соединяем плавной кривой. На П2 кривые проецируются в отрезки [1-2] и [3-5]. Так как задана полусфера, нижнюю часть эллипса(точка 4) обводить не следует.

• 
  Слайд 9
  

  Если какая-нибудь поверхность 2-ого порядка пересекается со сферой по одной окружности, то она пересекается с ней еще раз по другой окружности. Семейство круговых сечений

• 
  Слайд 10
  

  Следствие теоремы 1 Задача. Найти семейство круговых сечений эллиптического конуса. Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка, может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют.

• 
  Слайд 11
  

  Следствие теоремы 1 Проведем сферу с центром О на оси конуса и радиусом, равным длине отрезка |1,О|. Эта сфера будет касаться двух образующих конуса в точках 1и2.

• 
  Слайд 12
  

  Следствие теоремы 1 Линия пересечения со сферой распадается на две окружности АВиСD, расположенные в профильно проецирующих плоскостях ΣиΣ'. Полученные окружности определяют два семейства круговых сечений эллиптического конуса.

• 
  Слайд 13
  

  Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания (1 и 2). Теорема 2 (о двойном касании)

• 
  Слайд 14
  

  Задача. Построить линию пересечения цилиндров ΨиΩ. 1. Заданы две поверхности вращения, имеющие точки касания. Имеется общая плоскость симметрии Λ. Теорема 2 (о двойном касании)

• 
  Слайд 15
  

  Находим точки 1и2касания цилиндра Ψc цилиндром Ω. Находим линиюа(1,2). 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках (1и2),то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую а, соединяющую точки касания. Теорема 2 (о двойном касании)

• 
  Слайд 16
  

  3. Опорные точки. Экстремальные относительно П1 (они же очерковые на П2) точки AиBпостроены с помощью общей плоскости симметрии Λ,которая пересекает цилиндры по очерковым образующим. Теорема 2 (о двойном касании)

• 
  Слайд 17
  

  4. Определять промежуточные точки нет необходимости так как проекция линии пересечения на П1 совпадает с частью проекции вертикального цилиндраΩ. 5. Соединив найденные точки (А,1, В),получим проекции частей эллипсов, которые на П2, проецируются в отрезки [A1] и [1B]. Теорема 2 (о двойном касании)

• 
  Слайд 18

  Теорема Монжа

  Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка,или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка, плоскости которых проходят через прямую (КL), соединяющую точки пересечения линий касания (AB иCD).

• 
  Слайд 19
  

  Задача. Построить проекции линии пересечения поверхностей конуса (Ω) и вертикального конуса (Ψ). Определить видимость. 1. Заданы две поверхности вращения, описанные вокруг сферыФ. 2. На основании теоремы Монжа искомая линия пересечения - две плоские кривые второго порядка.

• 
  Слайд 20
  

  3. Опорные точки. Экстремальные (они же очерковые относительно П2) точки 1, 2, 3и4построены с помощью общей плоскости симметрии Λ (очерк – ось).

• 
  Слайд 21
  

  Находим линию а(АВ) касания сферы Фи конуса Ω, соединив точки касания АиВ.

• 
  Слайд 22
  

  Находим линию b(СD) касания сферы Фивертикального конусаΨ, соединив точки касания СиD.

• 
  Слайд 23
  

  Определяем прямую KL, соединяющую точки пересечения линий а(АВ) иb(СD) касания сферы ФиконусовΩиΨ. Горизонтальные проекции точек KиLнайдены из условия принадлежности их поверхности конуса Ψс помощью параллелиb(радиус – от оси до очерка).

• 
  Слайд 24

  Особые случаи пересечения кривых поверхностей

  Сфера Ф касается конусаΩ по окружности а(АВ). Сфера Ф касается конусаΨ по окружности b(СD). Определяем отрезок KL, в пересечении окружностей а(АВ) иb(СD). Окружности аи bна П2 проецируются в отрезки АВ и СD,аотрезок KL – в точку .

• 
  Слайд 25
  

  На основании теоремы Монжа искомая линия пересеченияраспалась на двеплоскиекривые второго порядка (1-2 и 3-4), плоскости которых проходят через прямую KL.

• 
  Слайд 26

  Теорема Монжа

  После построения проекции линии пересечения на П2 находим очерковые относительно П1 точки 5, 5'и6, 6'из условия принадлежности горизонтальным очерковым образующим конуса Ω (ось – очерк).

• 
  Слайд 27
  

  Очерковые относительно П3 точки 7, и7'линии пересечения найдены из условия принадлежности их поверхности конусаΨс помощью параллели с(радиус от оси до очерка).

• 
  Слайд 28
  

  4. Промежуточные точки8, и8'линии пересечения найдены из условия принадлежности их поверхности конуса Ψс помощью параллелиd. Промежуточные точки 9, и9' линии пересечения найдены из условия принадлежности их поверхности конуса Ψс помощью параллели e.

• 
  Слайд 29
  

  5) Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости, получим горизонтальную проекцию линии пересечения заданных поверхностей. Точки 5, 5', 6, 6' точки смены видимости. Доводим очерк конуса Ω до этих точек.

• 
  Слайд 30
  

  На основании теоремы Монжа линия пересечения конусов, описанных вокруг сферы, распалась на две плоские кривые (эллипсы), имеющие общие точки К и L

• 
  Слайд 31

  Теорема о двойном касании

  Задача. Построить проекции линий пересечения горизонтального цилиндра (Ω) и вертикальных цилиндров(Ψ) и (Ф).Определить видимость. 1. Заданы поверхности второго порядка, имеющие точки касания 1, 2. Имеется общая плоскость симметрии Λ, параллельнаяП2. точки касания точки касания

• 
  Слайд 32
  

  2. Линия пересечения цилиндров Ω и Ψ  две кривые второго порядка (эллипса), плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания 1, 2. Линия пересечения цилиндров Ω и Ф  кривая второго порядка (эллипс), плоскость которой проходят через прямую, соединяющую точки касания 1, 2. 3. Опорные точки: A, B, C, D, C', D' экстремальные (в тоже время очерковые), найдены с помощью общей плоскости симметрии Λ.

• 
  Слайд 33
  

  Находим фронтальные проекции линий пересечения: от АдоВчерез1, 2;отDдо Cчерез1, 2;от D'до C'через1', 2'. Горизонтальные проекции линий пересечения совпадают с проекциями вертикальных цилиндров.

• 
  Слайд 34
  

  Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания (1 и 2). Содержание