Презентация на тему "План работы:"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Выполнил: Ковалев Никита Олегович, студент группы БМП-12-11 Функции. Графики функций и их свойства Y=kx+b y=ax²+bx+c y=x n x y

• 
  Слайд 2

  План работы:

  Рассмотреть графики и свойства функций: 1. Линейная 2. Квадратичная 3. Степенная: а) с четным отрицательным показателем б) с нечетным отрицательным показателем в) с показателем, равным 0 г) с четным положительным показателем д) с рациональным показателем 5. Логарифмическая 6. Тригонометрические: a) y=sin(x) б) y=cos(x) в) y=ctg(x) г) y=tg(x) 7. Обратные тригонометрические: a) y=arcsin(x) б) y=arccos(x) в) y=arcctg(x) г) y=arctg(x) 4. Показательная

• 
  Слайд 3
  

  1. Линейная y = kx + b, где k,b - действительные числа График линейной функции - прямая. k - угловой коэффициент k = tga, b - ордината точки пересечения с осью y Частные случаи линейной функции: прямая пропорциональность: постоянная функция: y=kx+b

• 
  Слайд 4
  

  7) При b =0 функция имеет вид у = kх. график - прямая, проходящая через начало координат Свойства линейной функции: 1) Область определения - множество R 2) Область значений - множество R, если k не равно 0,а если к =0, то число b 3) При к не равно 0, функция ни парная ни непарная; если к =0, то функция парная; если b =0, то функция непарная 4) При к>0 функция возрастает, при к

• 
  Слайд 5
  

  2. Квадратичная y = ax2 + bx + c, где aне равноГрафик квадратичной функции - парабола. Свойства функции и вид её графика определяются, в основном,значениями коэффициента a и дискриминанта D = b2 - 4ac. a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D

• 
  Слайд 6
  

  2. Квадратичная a 0 a

• 
  Слайд 7
  

  ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:R ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ: ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ: НУЛИ: при а > 0    [-D/(4a); ∞) приа 0      два нуля: при D = 0      один нуль функции: при D

• 
  Слайд 8
  

  : 1) если, а > 0, D > 0, то     2) если, а > 0, D = 0, то   3) eсли а > 0, D 0, то 5) если а

• 
  Слайд 9
  

  Промежутки монотонности при а > 0 при а

• 
  Слайд 10
  

  3.Степенная а) с четным отрицательным показателем Перейдем к степенной функции при а = -2, -4, -6, … y=xn На рисунке изображены графики степенных функций - – черная линия, – синяя линия, – красная линия

• 
  Слайд 11
  

  Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем: 1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция четная, так как 4. Функция возрастает при убывает при 5. Функция вогнутая при 6. Точек перегиба нет. 7.Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 8. Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

• 
  Слайд 12
  

  б) с нечетным отрицательным показателем Перейдем к степенной функции при а = -1, -3, -5,… На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – красная линия, – зеленая линия. При а = -1 имеем обратную пропорциональность (гиперболу) - частный случай степенной функции. 3.Степенная

• 
  Слайд 13
  

  Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем: 1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция нечетная, так как 4. Функция убывает при 5. Функция выпуклая при и вогнутая при 6. Точек перегиба нет. 7. Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 8. Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

• 
  Слайд 14
  

  в) с показателем n=0 3.Степенная Рассмотрим функцию, когда y=x 0=1 Графиком этой функции является прямая 1 1 y=1 y x 0 Свойства: 1. Область определения : y=R 2. Область значений: y=1 3. Функция не возрастает и не убывает 4.Функция не имеет экстремумов 5. График не проходит через начало координат

• 
  Слайд 15
  

  3.Степенная Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а = 2, 4, 6, …. В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а = 2 имеем квадратичную функцию – квадратичную параболу– частный случай степенной функции. г) с четным положительным показательным

• 
  Слайд 16
  

  Свойства степенной функции с четным положительным показателем: 1. Область определения: 2. Область значений: . 3. Функция четная, так как 4. Функция возрастает при , убывает при 5. Функция вогнутая при 6. Точек перегиба нет. 7. Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

• 
  Слайд 17
  

  . 3.Степенная д) с рациональным показательным Рассмотрим графики степенной функции , если и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а = 1/4 или 3/8) На рисунке в качестве примера показаны графики степенных функций y= – синяя линия, – красная линия. – черная линия,

• 
  Слайд 18
  

  . Свойства степенной функции с рациональным показателем меньшим единицы: 1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. 4. Функция возрастает при 5. Функция выпуклая при 6. Точек перегиба нет. 7. Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

• 
  Слайд 19
  

  4. Показательная Одной из основных элементарных функций является показательная функция. График показательной функции , где и Рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. y=aх

• 
  Слайд 20
  

  Свойства показательной функции с основанием меньше единицы 1. Областью определения показательной функции является все множество действительных чисел: 2. Область значений: 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида. 4. Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения. 5. Функция вогнутая при 6. Точек перегиба нет. 7. Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности. 8. Функция проходит через точку (0;1).

• 
  Слайд 21
  

  5. Логарифмическая Следующей элементарной функцией является логарифмическая функция , где , Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Начнем со случая, когда приведем графики логарифмической функции при Для примера а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

• 
  Слайд 22
  

  . Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы 1. Область определения логарифмической функции: при х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности. 2. Область значений: 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. 4. Логарифмическая функция убывает на всей области определения. 5. Функция вогнутая при 6. Точек перегиба нет. 7. Горизонтальных асимптот нет. 8. Функция проходит через точку (1;0).

• 
  Слайд 23
  

  5. Логарифмическая Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы Покажем графики логарифмических функций . – синяя линия, – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

• 
  Слайд 24
  

  Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы 1. Область определения: При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности. 2. Областью значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал 3. Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида. 4. Функция возрастает при 5. Функция выпуклая при 6. Точек перегиба нет 7. Горизонтальных асимптот нет. 8. Функция проходит через точку (1;0)

• 
  Слайд 25
  

  . 6. Тригонометрические Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. У тригонометрических функций есть понятие периодичности(повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода где T - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

• 
  Слайд 26
  

  а) Функция синус y = sin(x) синусоида Свойства функции y=sin(x): 1. Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при 2. Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: 3. Функция обращается в ноль при ,где Z – множество целых чисел. 4. Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть

• 
  Слайд 27
  

  . Свойства функции y=sin(x): 5. Функция синус - нечетная, так как 6. Функция убывает при ,возрастает при 7. Функция синус имеет локальные максимумы в точках локальные минимумы в точках 8. Функция y = sinx вогнутая при выпуклая при 9. Координаты точек перегиба 10. Асимптот нет.

• 
  Слайд 28
  

  . б) Функция косинус y = cos(x) График данной функции Свойства функции y=cos(x): 1. Область определения функции косинус: 2. Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи 3. Функция обращается в ноль при , где Z – множество целых чисел. 4. Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: 5. Функция косинус - четная, так как

• 
  Слайд 29
  

  . Свойства функции y=cos(x): 6. Функция убывает при ,возрастает при 7. Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках локальные минимумы в точках 8. Функция вогнутая при ,выпуклая при 9. Координаты точек перегиба 10. Асимптот нет.

• 
  Слайд 30
  

  . г) Функция тангенс y = tg(x) Изобразим график функции тангенс (его называют "тангенсоида"):

• 
  Слайд 31
  

  Свойства функции y=tg(x): 1. Область определения функции тангенс: , где 2. Наименьший положительный период функции тангенс 3. Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел. 4.Область значений функции y = tgx: 5. Функция тангенс - нечетная, так как 6. Функция возрастает при 7. Функция вогнутая при ,выпуклая при 8. Координаты точек перегиба 9. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

• 
  Слайд 32
  

  . в) Функция котангенс y = сtg(x) Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

• 
  Слайд 33
  

  . Свойства функции y=tg(x): 1. Область определения функции котангенс: , где 2. Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи 3. Функция обращается в ноль при , где 4. Область значений функции котангенс: 5. Функция нечетная, так как 6. Функция y = ctgx убывает при 7. Функция котангенс вогнутая при ,выпуклая при 8. Координаты точек перегиба 9. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

• 
  Слайд 34
  

  . 7. Обратные тригонометрические а) Функция арксинус y = arcsin(x)

• 
  Слайд 35
  

  . Свойства функции y=arcsin(x): 1. Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: 2. Область значений функции y = arcsin(x): 3. Функция арксинус - нечетная, так как 4. Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при 5. Функция вогнутая при , выпуклая при 6. Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции 7. Асимптот нет.

• 
  Слайд 36
  

  . б) Функция арксинус y = arccos(x)

• 
  Слайд 37
  

  . Свойства функции y=arccos (x): 1. Область определения функции арккосинус: 2. Область значений функции y = arccos(x): 3. Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида. 4. Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при 5. Функция вогнутая при , выпуклая при 6. Точка перегиба 7. Асимптот нет.

• 
  Слайд 38
  

  . в) Функция арктангенс y = arctg(x)

• 
  Слайд 39
  

  . Свойства функции y=arctg(x): 1. Область определения функции y = arctg(x): 2.Область значений функции арктангенс: 3. Функция арктангенс - нечетная, так как 4. Функция возрастает на всей области определения, то есть, при 5. Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при 6. Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции. 7. Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при На чертеже они показаны зеленым цветом.

• 
  Слайд 40
  

  . г) Функция арккотангенс y = arcсtg(x)

• 
  Слайд 41
  

  . Свойства функции y=arcсtg(x): 1. Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: 2. Область значений функции y = arcctg(x): 3. Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида. 4. Функция убывает на всей области определения, то есть, при 5. Функция вогнутая при , выпуклая при 6. Точка перегиба 7. Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при

• 
  Слайд 42
  

  . Спасибо за внимание!