Презентация на тему "Применение производной"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Применение производной

  Докладчик: Яценко Людмила Викторовна. Научный руководитель: Аносов Виктор Петрович.

• 
  Слайд 2

  История возникновения дифференциального исчисления

  В конце 17 века английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь s(t) и скорость v(t) связаны между собой формулой: v(t)=s´(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией и техническими науками

• 
  Слайд 3

  История дифференциального исчисления

  Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси Оx.

• 
  Слайд 4
  

  В общих чертах построение дифференциального исчисления было завершено в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница к концу 17 в., однако вопросы обоснования с помощью понятия предела были разработаны О. Коши лишь в начале 19 в. Создание дифференциального исчисления является началом периода бурного развития математики.

• 
  Слайд 5

  Применение производной в различных сферах жизни

  Физика Применение производной в физике очень обширно. Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость:

• 
  Слайд 6

  Электротехника

  В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду используется электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. I=q’(t)

• 
  Слайд 7

  Теплоемкость

  Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q (t) Пример Пусть Q ( t )-количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг, от 00С до температуры t0 (по Цельсию). Известно, что в диапазоне 00 до 950, формула Q ( t ) = 0,396t + 2,08110-3t2 - 5,02410-7t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение. C ( t ) = Q ( t ) = 0,396 + 4,162*10 -3 t – 15,072*10 -7 t2

• 
  Слайд 8

  Химия

  Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Она изучает закономерности протекания различных реакций. И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

• 
  Слайд 9

  Таблица понятий

• 
  Слайд 10

  Биология

• 
  Слайд 11

  Экономика

  В особенности применение производной востребовано в экономике.В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

• 
  Слайд 12

  Сельское хозяйство, животноводство

  Усилению политехнической и трудовой направленности обучения математике способствует решение задач практического характера. Многие из этих задач сводятся, как известно, к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на некотором промежутке.

• 
  Слайд 13

  Деревообработка

  Важное народно-хозяйственное значение имеет рациональный раскрой древесины. Комплексное решение таких задач требует применения довольно глубоких методов классической и современной математики. Однако отдельные задачи такого рода можно решить, используя только производную

• 
  Слайд 14

  Строительство

  При монтаже промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные о сооружаемом объекте. В частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Для того чтобы получит нужные расчеты, мы и здесь применяем производную.

• 
  Слайд 15

  Транспорт

  В практике проектирования сети автомобильных дорог часто возникает необходимость устройства узла разветвления. Местоположение узла и взаимное расположение проходящих через него дорог определяется комплексом экономических и географических условий, но первый, предварительный этап решения этой задачи учитывает лишь затраты рабочего времени на перевозки, вследствие чего не обойтись без производной

• 
  Слайд 16

  Задачи

• 
  Слайд 17

  Защита

  Задача № 1. Дан равнобедренный треугольник со сторонами а. Найти наибольшую площадь треугольника. Решение: Запишем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника:

• 
  Слайд 18
  

  Рассмотрим треугольник АВС, Выведем несколько соотношений, которые в дальнейшем нам помогут при решении задачи : 1.В aa AC ,тогдаK

• 
  Слайд 19
  

  2.Рассмотрим треугольник KBC: , при В КС , тогда из AKB следует: Преобразовав это выражение,получимS=

• 
  Слайд 20
  

  Возьмем производную, и приравняем её к нулю: =0, Исследуем функцию на экстремум:

• 
  Слайд 21

  Ответ

  Воспользуемся первым достаточным условием экстремума функции: Пусть xо - критическая точка. Если f ( x ) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Вывод: наибольшая площадь треугольника будет достигаться тогда, когда угол будет равен

• 
  Слайд 22

  Что больше ?

  Решение: предположим Прологарифмируем выражение : Введем функцию f(x) = ,x >0 найдем производную f '(x)= Приравняем f '(x)=0 ,найдем точки x=0; x=e,ноx=0∉(0;+∞),поэтому одна критическая точка x=e.

• 
  Слайд 23
  

  на заданном интервале найдем экстремум,что будет и соответственно ответом Ответ: точка eявляется точкой локального максимума на всем промежутке (0;+∞),отсюда сделаем вывод,так как e

• 
  Слайд 24

  Что больше ?

  Аналогично предыдущему заданию сравним величины Предположим Прологарифмируем Введем функцию: Найдем производную: f '(x)= f '(x)=, найдем точки x=0; x=e,но x=0∉(0;+∞),поэтому одна критическая точка x=e.

• 
  Слайд 25
  

  Найдем промежутки возрастания и убывания функции f Ответ:так как 100 и 101∊ (0;+∞)и функция строго убывает на этом интервалеи 100

• 
  Слайд 26

  Заключение

  В заключении хотелось бы еще раз подчеркнуть важность изучения темы «Применение производной", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать, как простые, так и сложные задачи.

• 
  Слайд 27
  

  «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Ф.Энгельс

• 
  Слайд 28

  Спасибо за внимание =)