Презентация на тему "Задачи, приводящие к понятию производной"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

  1. Задачи, приводящие к понятию производной Составила учитель математики МОУ «Гимназия им. Горького А.М.»: Фабер Г.Н. pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Приращение функции и приращение аргумента

  =x0+∆x y=f(x) x0 f(x)=f(x0+∆x) f(x0) ∆x ∆f приращение аргумента: x y ∆х = х - х0(1) Приращение функции : ∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2) ∆f = f(x)-f(x0) (3) x В окрестности точки х0 возьмём точку х Пусть х0- фиксированная точка, f(х0)- значение функци в точке х0 Расстояние между точками х и х0 обозначим ∆х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х0: Первоначальное значение аргумента получило приращение ∆х, и новое значение х равно х0+∆х Функция f(х) тоже примет новое значение: f(x0+∆x) Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)-f(x0)= f(x0 +∆x)-f(x0),КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f Дана функция f(x)

• 
  Слайд 3

  Задача 1 (о скорости движения).

  По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

• 
  Слайд 4
  

  Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке P: OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆sПолученную разность мы назвали в § 26 приращением функции Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+∆t] : = А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени[t;t+∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше и меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→0.Это значит , что Подводя итог решению задачи 1, получаем:

• 
  Слайд 5

  Задача 2

  Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость vпостепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

• 
  Слайд 6
  

  Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t)скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h. Сказанное записывают в виде

• 
  Слайд 7
  

  Прямая, проходящая через точку М0 (х0; f(х0)), с отрезкомкоторой почти сливается график функции f(х),называюткасательной к графику в точке х0

  x0 f(x0) M0 X y Тема: Задача, приводимая к понятию “производная” 0

• 
  Слайд 8

  Задача: Определить положение касательной (tgφ)

  х у 0 М0 х0 f(x0) М х f(x) =x0+∆x ∆x ∆f =f(x0+∆x)  φ Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению касательной Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М0 Через точки М и М0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол  Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М0.Соответственно будет меняться положение секущей ММ0 При этом координата х точки М будет стремиться к х0 К чему будет стремиться приращение аргумента? Ак какому углубудет стремиться угол  ?

• 
  Слайд 9

  Задача о касательной к графику функции

  y = f(x) x y x0 М0(х0 ,у0) α А β В x М(х ,у) С ∆х=х-х0 ∆f(x) = f(x) - f(x0)

• 
  Слайд 10

  Задача о мгновенной величине тока

  Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента tдо момента t + Δt. Тогда отношениеназывают средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

• 
  Слайд 11

  Выводы

  Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

• 
  Слайд 12
  

  Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

• 
  Слайд 13

  Определение производной

  Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

• 
  Слайд 14
  

  Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловойкоэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0; в) мгновенная сила токаI(t) в момент tесть производная от количества электричества q(t)по времени; Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

• 
  Слайд 15

  А л г о р и т м

  1)∆x = x – x0 2) ∆f = f(x+x0) – f(x0) 3) 4)

• 
  Слайд 16

  А это значит:

  Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

• 
  Слайд 17

  Основные формулы

  Средняя скорость = Мгновенная скорость или Скорость изменения функции Значение производной в точке =