Содержание
-
Тема урока: Применение производной в физике, математике, биологии и жизни «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».А. Н. Крылов Учитель математики ВКК МБОУ СОШ с углубленным изучением отдельных предметов Орлова О.В. Г. Воронеж
-
Воспитательная работа: Расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся Развитие логического мышления и умение применять свои знания Техническое обеспечение: Интерактивная доска Компьютер Диск Тип урока: интегрированный
-
обобщить и закрепить ключевые задачи по теме обобщить и закрепить применение техники дифференцирования учить работать с теоретическими вопросами темы научиться применять производную в физике, биологии и математике обобщить, систематизировать знания о производной
-
Повторение основных понятий:
2. Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)? 1. Скажите основное определение производной? 3. Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной?
-
Обоснование термина производной: Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций. Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.
-
Разбор домашней работы:
№ 396, 397 (а, б), 401 (2), 425 (4,7)
-
Домашнее задание: № 428 (2), 430 (1), 433 (1, 3), 435*, 439*
-
Объяснение нового материала и запись конспекта:
I. Мгновенная мощность есть производная работы по времени: W=limΔA/ΔtΔA – изменение работы. II. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t Тогда угловая скорость равна: W=lim Δφ/Δt=φ׳(t) Δt→0 III. Сила тока есть производная Ι=lim Δg/Δt=g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt. IV. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда lim ΔQ/Δt=Q′=C – удельная теплоёмкость. V. Задача о скорости течения химической реакции. m(t)-m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t V= lim Δm/Δt=m’ Δt→0
-
VI. Пусть m – масса радиоактивного вещества. Скорость радиоактивного распада: V= lim Δm/Δt=m׳(t) Δt→0 В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид: dN/dt=-גN, где N – число ядер не распавшихся время t. Интегрируя это выражение, получаем: dN/N= -גdt ∫dN/N= -ג∫dtlnN= -גt+c, c=const при t=0 числорадиоактивных ядер N=N0, отсюда имеем: ln N0=const, следовательно ln N=-גt+ln N0. Потенциируя это выражение получаем: -закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0=0, N – число ядер, не распавшихся за время t.
-
Применение производной в биологии, физике, жизни Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни.
-
1. «Сюжет Листик» Мы с вами изучали производную и её свойства. Философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.» Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной! Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени. Итак: S=S(t) V=S′(t)=x′(t), a=V′(t)=S″(t) F=ma F=mV′ F=mS″ Запишем II закон Ньютона: F=mV′ F=mS″
-
Открытие приложения «Листок»
-
2. «Сюжет Суслики, Волки» Рассмотрим дифференциальные уравнения показательного роста и убывания : F=maF=mV' F=mS'' Решение многих задач физики, технической биологии и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций y=f(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению f'(x)=kf(x), где k= const .
-
Открытие приложения «Волки»
-
Открытие приложения «Суслики»
-
3. «Формула Человека» Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды: Человек Звезда ------------ = ------------ Атом Человек Отсюда следует, что Человек = Звезда* Атом Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.
-
Применение производной в математике Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий. Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах. Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц. Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.
-
№1 Построить график и исследовать функцию:
-
-
Минутка релаксации (приложение BBC):
-
Применение производной в физике При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.
-
№1 Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
-
Решение: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум. Используя связь между потенциальной энергией поля U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = -(2a/r3+b/r2)=0; приэтомr = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной: d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)
-
№2 Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R.
-
Решение: При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m; а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E, По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m) Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn; J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n); Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю. J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0; n2 = kr/R n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4; m = k/n = 36/4 = 9; при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А; Ответ: n = 4, m = 9.
-
№3 Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью кг/с.
-
Решение: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона: dP/dt = F P – импульс системы платформа-песок, F – сила, действующая на систему платформа-песок. Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать: dp/dt = F Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t: p = (M+(t+t))(u+u) – (M+t)u =Ft; где u – скорость платформы. Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем: p = ut + Mu+ut+ ut =Ft Разделим на t и перейдем к пределу t 0 Mdu/dt+tdu/dt+u=Fили d[(M+t)u]/dt = F Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M+t)u = Ft. Следовательно: u = Ft/(M+t) Тогда, ускорение платформы: a = du/dt = =(F(M+t)-Ft)/(M+t)2 = =FM / (M+t)2
-
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы. Изменение импульса за малый промежуток времени: p = (M-(t+t))(u+u) +tu – (M-t)u = Ft Слагаемое tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время t. Тогда: p = Mu - tu - tu = Ft Разделим на t и перейдем к пределу t 0 (M-t)du/dt = F Илиa1=du/dt= F/(M-t) Ответ: a = FM / (M+t)2 , a1= F/(M-t)
-
Работа в классе (решение номеров из сборника): № 1 Найти скорость движения материальной точки в конце З-й секунды, если движение точки задано уравнением s = t^2 -11t + 30. № 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю? № 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 - 27t, другое — по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными. № 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с,тормозной путь определяется формулой s(t) =30t—16t^2, где s(t) - путь в метрах, t - время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полнойостановкимашины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?
-
№5 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+3t - 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2) через 3 секунды после начала движения. Решение: Найдем скорость движения тела в любой момент времени: V = ds/dt = 4t + 3 Вычислим скорость тела в момент времени t = 3: Vt=3 = 4*3 + 3=15 (м/с). Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3: mv2/2=8-15^2 /2=900 (Дж). №6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2— 1. №7 Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно позакону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы. Решение: Имеем s' = 8t+1,s" = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F=ma=30*8=240 (H)-также постоянная величина.
-
№9 Материальная точка движется по закону s=2t^3-6t^2+4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды. №8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t)=t^3-3t^2+2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4с.
-
Выполните самостоятельную работу
-
Подведение итогов урока Какимвопросамбыл посвящен урок? Чему научилисьна уроке? Какие теоретические факты обобщались на уроке? Какие рассмотренныезадачи оказались наиболеесложными? Почему?
-
Спасибо за внимание! До новых встреч! Спасибо за просмотр! До новых встреч!
-
Литература: Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения.- Минск: Высшая школа, 1982.-272с. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.-160с. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука и техника, 1979.- 744с. Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11 «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др. «Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик 1991 год
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.