Презентация на тему "Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

  Презентацию выполнила ученица ГБОУ гимназии №1517 9 класса Г Соловьева Александра

• 
  Слайд 2

  Угол между пересекающимися хордами

  Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами

• 
  Слайд 3

  Доказательство

  Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства Что и требовалось доказать Дано: (О;R) АВ и CD-хорды AB∩CD=E Д-ть:

• 
  Слайд 4

  Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга

  Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

• 
  Слайд 5

  Доказательство

  Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Дано: (O;R) AB и CD секущие AB∩CD=E Д-ть:

• 
  Слайд 6

  Угол, образованный касательной и секущей

  Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

• 
  Слайд 7

  Доказательство

• 
  Слайд 8
  

  Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания

  Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

• 
  Слайд 9

  Доказательство

  1) Поскольку AD – диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые 2)α=

• 
  Слайд 10

  решение задач

• 
  Слайд 11

  Задача

  Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите радиус окружности, если угол BAC = α, угол ABC = β и площадь треугольника ABC равна S. Подсказка Пусть D — точка пересечения данной окружности со стороной BC. Зная площадь треугольника ABC, найдите AB с помощью теоремы синусов. Затем докажите, что ADB = 180o - 

• 
  Слайд 12

  Решение

  1)Пусть D — точка пересечения данной окружности с прямой BC. Обозначим AB = c, BC = a. Применяя теорему синусов к треугольнику ABC, получим пропорцию  =   =  , откуда a =  .  Тогда S = SABC =  ac sin  =  , откуда находим, что c =  2) По теореме об угле между касательной и хордой находим, что либо ADB = BAC =  , либо ADB = 180o - BAC = 180o -В обоих случаях sinADB = sin. Пусть R — искомый радиус окружности, описанной около треугольника ABD.  Тогда R =   =  =  .

• 
  Слайд 13

  Задача

  Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A.‍ Хорда BC‍ в большей окружности касается меньшей в точке D.‍ Прямая AD‍ вторично пересекает большую окружность в точке M.‍ Найдите MB,‍ если MA = a,‍ MD = b.‍

• 
  Слайд 14

  Решение

  Докажем сначала, что точка M —‍ середина дуги BC,‍ не содержащей точки A.‍ Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку A,‍ пересекает прямую BC‍ в точке P‍ (C‍ между B‍ и P).‍ Тогда ∠MAP = ∠ADP‍ как углы при основании равнобедренного треугольника APD.‍ Пусть α,‍ β‍ и γ —‍ угловые величины дуг CM‍ (не содержащей точки A),‍ BM‍ (не содержащей точки A)‍ и AB‍ (не содержащей точки C)‍ соответственно. Тогда из равенства углов MAP‍ и ADP‍ следует равенство смежных им углов, поэтому ‍ ‍ α + γ ‍ 2 ‍,‍ γ + β ‍ 2 = ______ ______ откуда получаем, что α = β.‍ Значит, ∠DBM = ∠CBM = ∠CAM = ∠BAM‍ и треугольники BDM‍ и ABM‍ подобны по двум углам. Следовательно, ‍ ‍ BM ‍ DM откуда находим, что BM‍² = AM · DM = ab.‍ = ‍ ‍ AM ‍ BM ,‍ ____ ____

• 
  Слайд 15

  Задача

  Вокруг треугольника ABC со сторонами AC = 20 и углом B, равным 45°, описана окружность. Через точку C проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение стороны AB за точку A в точке D Найти площадь треугольника BCD.

• 
  Слайд 16

  Решение

  Угол ABC равен половине угловой величины дуги AC, как вписанный угол, опирающийся на эту дугу. Угол ACD также равен половине угловой величины дуги AC, как угол между касательной и хордой. Следовательно, эти углы равны, и треугольники DBC и DCA подобны по двум углам. Площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Найдем этот коэффициент, он равен BC : AC. Пусть BC = 10x, тогда, применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим:

• 
  Слайд 17
  

  Значит, Поэтому,

• 
  Слайд 18
  

  С другой стороны Значит

• 
  Слайд 19

  Спасибо за внимание!