Содержание
-
Углы в пространстве
Автор Календарева Н.Е. © 2011 г.
-
План
Угол между прямыми Решение задач Угол между прямой и плоскостью Решение задач Двугранный угол Линейный угол двугранного угла Угол между плоскостями
-
Угол между прямыми
Пересекающиеся прямые Они образуют два вертикальных угла и два смежных. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикуляр- ными прямыми равен 90° по определению.
-
Скрещивающиеся прямые Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.
-
Утверждение
Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. а b а1 b1 A а2 b2 B
-
Доказательство
По теореме «Две прямые, параллельные третьей, параллельны» прямые а1 и а2 параллельны (или совпадают) и прямые b1 и b2 параллельны (или совпадают). Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В. При этом параллельном переносе прямая а1 переходит в а2, прямая b1 – в b2. Углы при парал. переносе сохраняются.
-
Угол между прямыми
Перпендикулярные прямые По определению перпендикулярнымипрямыми называются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Если угол между скрещивающимися прямыми равен 90°, то эти прямые также называются перпендикулярными.
-
Параллельные прямые Угол между параллельными прямыми по определению равен 0. Итак, величина угла между прямыми в пространстве изменяется от 0 до 90° или от 0 до π/2 включительно.
-
Как решать задачи
Чтобы найти угол между прямыми, надо найти его тригонометрическую функцию (любую!). Если это табличное значение, то угол может быть выражен в градусах или в радианах. Тригонометрическую функцию надо находить из треугольника, для чего его надо достроить.
-
Для удобства делают так называемый «выносной» рисунок. На нем изображают треугольник правдоподобным, как в планиметрии. Находят и выносят на рисунок длины сторон треугольника.
-
Затем проверяют, является ли треугольник равносторонним; равнобедренным; прямоугольным. Если прямоугольный, то используем формулы для синуса или косинуса. Если равнобедренный или произвольный, то находим косинус угла по теореме косинусов.
-
Задача 1
Дан куб. Найдите угол между прямыми A’C’и BD, если ребро куба равно 1 дм. Ответ: 90°
-
Задача 2
Дан куб. Найдите угол между прямыми A’Dи DC’, если ребро куба равно 1 дм. Ответ: 60°
-
Задача 3
Дана правильная призма. Найдите угол между AC’ и BC’, если сторона тре-ка АВС равна 1см, а высота призмы равна 2 см.
-
Решение
Т. Пифагора: BC’2 = BC2 + CC’2; BC’2 = 1 + 8 = 9; BC’ = 3. ΔABC’ – равнобедр. По т.косинусов 12 = 32 + 32 – 2∙3∙3cosφ; cosφ = 17/18. Ответ: arccos(17/18).
-
Угол между прямой иплоскостью
Углом между прямойи плоскостьюназывается угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Угол φ меняется от 0 до 90°. φ
-
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол равен 90°. φ= 90° Если прямая параллельна плоскости, то угол равен 0. φ= 0
-
Задача 4
Дан куб с единичным ребром. Найдите угол между прямой АВ’и плоскостьюBB’C’C. Ответ: 45°. А А’ B’ C’ D’ D B
-
Задача 5
В правильной треугольной призме ABCA’B’C’ сторона основания равна 2 , боко-вое ребро равно 2. Найдите угол между прямой BC’ и плоскостью ABC. Ответ: 30°.
-
Задача 6
В кубе с единичным ребром найдите угол между диагональю B’C и плоскостью AA’D’D. Ответ: 0. А А’ B’ C’ D’ D B C
-
Задача 7
В кубе с единичным ребром найдите угол между диагональю BD’ и плоскостью C’A’D. Ответ: 90°. А А’ B’ C’ D’ D B C
-
Двугранный угол
Двуграннымуглом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости назы- ваютсягранями, а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла.
-
Линейный уголдвугранного угла
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
-
Мера двугранного угла
За меру двугранного угла принимается градусная или радианная мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
-
Трехгранный угол
Трехграннымуглом называется фигура, составленная из трех плоских углов. Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны – ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. а с b S
-
Многогранные углы
Аналогично определяется понятие многогранного угла. Например, в четырехугольной пирамиде при вершине четырехгранный угол. Две смежные грани многогранного угла называются двугранным углом многогранного угла.
-
Угол между плоскостями
Параллельные плоскости: угол равен 0. Перпендикулярные плоскости: угол равен 90°.
-
Угол между пересекаю-щимися плоскостями
Пусть даны две пересекающиеся плоскости. Построим плоскость, перпен-дикулярную прямой их пересечения.Она пересекает данные плоскости по двум прямым.
-
Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями.
-
Утверждение
Угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.
-
Задача 8
В правильной треугольной призме сторона основания равна 2 дм, высота призмы – 1 дм. Найдите угол между плоскостью ABC’ и плоскостью основания. Ответ: 30°. М
-
Задачи для самостоятельного решения
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ найдите угол между прямыми AD’ и C’D’. В правильной треугольной пирамиде SABC найдите угол между прямыми SC и CM, если сторона основания равна 3, а высота пирамиды .
-
3. Дана правильная призма. Найдите угол между AC’ и BC’, если сторона тре-ка АВС равна 1см, а высота призмы равна 2 см. 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдите угол между AS и BD. 5. В прямой треугольной призме ABCA’B’C’ стороны основания АВ =2, АС = АВ = 1. Боковое ребро равно 2 . Найдите угол между прямыми А’В и AC’.
-
Домашнее задание
Выучите определение угла между прямыми, между прямой и плоскостью и между плоскостями. Решите задачи для самостоятельного решения
-
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.