Содержание
-
Комплексные числа и координатная плоскость
-
Геометрической моделью множества С является координатная плоскость. Каждому комплексному числу r = а + bi можно естественным образом поставить в соответствие точку (а; b) координатной плоскости. Тогда любому комплексному числу соответствует единственная точка на координатной плоскости, и наоборот, каждая точка плоскости является «изображением» единственного комплексного числа.
-
-
При таком соответствии действительному числу а = а + 0 • iсоответствует точка (а; 0) с нулевой ординатой. Значит, действительные числа изображаются точками оси абсцисс. Мнимой единице i= 0 + 1 • iсоответствует точка (0; 1) на оси ординат, и вообще точками этой оси будут изображаться все чисто мнимые числа.
-
На рисунке отмечены на координатной плоскости комплексные числа: z1= 2 + 3i, z2 = -4 + i, z3 = -4 - i, z4 = 5 - 2,5i.
-
На рисунке отмечены на координатной плоскости некоторые действительные и чисто мнимые числа: 0, 5, -3,5, i, 3i, -2i.
-
-
То есть, для таким образом определенных суммы и произведения комплексных чисел верны сочетательный, переместительный и распределительный законы. При этом пара (0; 0) будет нулем относительно сложения, а пара (1; 0) будет единицей относительно умножения комплексных чисел.
-
Пример 1. Изобразить на координатной плоскости множество всех комплексных чисел, у которых: а) действительная часть равна -4; б) мнимая часть является четным однозначным натуральным числом; в) отношение мнимой части к действительной равно 2; г) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 9.
-
Решение. а) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi, у которых х = -4. Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.
-
б) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi, у которых у = 2, 4, 6 или 8. Это множество состоит из четырех прямых, параллельных оси абсцисс.
-
в) Нас интересуют комплексные числа z = x + yi, у которых y/x = 2, или у - 2х, х ≠ 0. Это прямая, проходящая через начало координат, с выколотой точкой (0; 0)
-
г) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi, у которых х2 + у2 = 9. Это окружность радиусом 3 с центром в начале координат.
-
Любую точку на координатной плоскости можно воспринимать двояко: алгебраически, как упорядоченную пару (а; b) действительных чисел, и как вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (а; b). При векторном подходе к изображению комплексных чисел наглядный смысл получают операции сложения и вычитания двух комплексных чисел: а) вектор, соответствующий сумме z1 + z2 двух комплексных чисел, равен сумме векторов, соответствующих числам z1 и z2; б) вектор, соответствующий разности z1 - z2 двух комплексных чисел, равен разности векторов, соответствующих числам z1 и z2.
-
а) вектор, соответствующий сумме z1 + z2 двух комплексных чисел, равен сумме векторов, соответствующих числам z1 и z2
-
б) вектор, соответствующий разности z1 - z2 двух комплексных чисел, равен разности векторов, соответствующих числам z1 и z2.
-
Точно так же дело обстоит и с умножением комплексных чисел на действительные числа: вектор, соответствующий произведению k ∙ z действительного числа k на комплексное число z, равен произведению вектора, соответствующего числу z, на число k.
-
Пример 2. Для комплексных чисел z1 = 1 + iи z2 = -1 + 2iизобразить на координатной плоскости числа: а) 2z1; б) -3z2 ; в) z1+z2; г) 2z1 - z2.
-
Решение. а) 2z1;
-
б) -3z2
-
в) z1+z2;
-
г) 2z1 - z2.
-
Числа в заданиях можно найти по формулам, а затем изобразить их на координатной плоскости. Иногда приведенные правила для сложения, вычитания комплексных чисел и умножения комплексных чисел на действительные числа объединяют таким образом: во множестве комплексных чисел операции сложения, вычитания и умножения на действительные числа производятся покоординатно. Подчеркнем, что сама эта формулировка предполагает операции уже не с самими комплексными числами, а с их геометрическими, векторными представениями.
-
В координатной плоскости ясный геометрический смысл имеет операция сопряжения (перехода к сопряженному числу). Действительно, если изобразить комплексные числа z = х + yiи =х - yiна координатной плоскости, то получатся точки (х;у) и (х;-у) симметричные относительно оси абсцисс.
-
Сопряженные друг другу комплексные числа равноудалены от начала координат, а вектора изображающие их, наклонены к оси абсцисс под одинаковыми углами, но расположены по разные стороны от этой оси. Сложим, например, «по правилу параллелограмма» комплексные числа z1 и z2, а затем отразим и их, и весь параллелограмм симметрично относительно оси абсцисс. Получим: = +.
-
-
Итак, мы познакомились с геометрической моделью множества С комплексных чисел и с тем, как в этой модели выглядят некоторые арифметические операции над комплексными числами. Оказалось, что модель эта — привычная нам координатная плоскость, а операции в точности совпадают с векторными операциями сложения, вычитания и умножения на действительное число. Пока что ничего принципиально нового мы не увидели. Чтобы различать координатную плоскость саму по себе и координатную плоскость как модель множества комплексных чисел, принято в последнем случае говорить о комплексной плоскости.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.