Презентация на тему "Комплексные числа"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Комплексные числа

• 
  Слайд 2

  ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

  ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

• 
  Слайд 3

  Понятие комплексного числа

  Х+А=В - недостаточно положительных чисел А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на множестве рац.чисел Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные числа Х+5=2

• 
  Слайд 4
  

  Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа

• 
  Слайд 5

  Решение квадратных уравнений

  А · Х²+ В ·Х+ С =0 При D

• 
  Слайд 6
  

  Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + ? Комплексные числа

• 
  Слайд 7

  Вид комплексного числа

  Х²=-1 Х=i -корень уравнения i- комплексное число, такое , что i²=-1 А + В·i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

• 
  Слайд 8

  А + В·i

  А и В – действительные числа i- некоторый символ , такой, чтоi²=-1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица

• 
  Слайд 9

  Геометрическая интерпретация комплексного числа

• 
  Слайд 10

  Модуль комплексного числа

  Z=А - В·i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В·i (Z) = Z Комплексно сопряженные числа. Z = A + B i=

• 
  Слайд 11

  Тригонометрическая форма комплексного числа

  Z =r φ- аргументаргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ+ i sin φ) Для Z=0 аргумент не определяется

• 
  Слайд 12
  

  Т.к Z =r = Z= А + В·i= cosφ+i sinφ

• 
  Слайд 13

  Сложение и умножение комплексных чисел

  Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1) Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2) Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

• 
  Слайд 14
  

  Если Z 1= Z2, то получим Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

• 
  Слайд 15
  

  Число Z называется корнем степени nиз числаω (обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ω. Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ) Вторая формула Муавра

• 
  Слайд 16
  

  Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

  Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней. Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

• 
  Слайд 17

  Пример:

  Решить уравнение:

• 
  Слайд 18

  Свойства сложения и умножения

  Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Z1 + Z2 = Z1 +Z2 Z1 · Z2 = Z1 ·Z2 Z1·(Z2 + Z3 )= Z1 ·Z2+Z1 ·Z3 (Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3) (Z1 · Z2 ) ·Z3 = Z1 ·(Z2 ·Z3)

• 
  Слайд 19

  Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

• 
  Слайд 20

  Вычитание и деление комплексных чисел

  Z+ Z2 = Z1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z+ Z2 +(- Z2)= Z1+(- Z2) Z= Z1- Z2–разность Деление – операция, обратная умножению: Z · Z2 = Z1 Разделив обе части на Z2 получим:

• 
  Слайд 21

  Геометрическое изображение разности комплексных чисел

• 
  Слайд 22

  Примеры:

  Найти разность и частное комплексных чисел Решение:

• 
  Слайд 23

  Литература

  Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г, Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г