Презентация на тему "Вычисление криволинейного интеграла 2 рода"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Вычисление криволинейного интеграла II родаВычисление криволинейного интеграла llрода, как и l рода, может быть сведено к вычислению определённого интеграла.

• 
  Слайд 2
  

  Параметрическое представление кривой интегрированияПусть кривая AB задана параметрическими уравнениями x=x(t) и y=y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке [ ; ], причём начальной точке А кривой соответствует значение параметра t= , а конечной точке В – значение t= . И пусть функция Р(x;y) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по определению,

• 
  Слайд 3
  

  Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как то по формуле Лагранжа (см.(25.2)) имеем: гдеВыберем точку так, чтобыТогда преобразованная интегральная сумма будет интегральной суммой для функции одной переменной на промежутке

• 
  Слайд 4
  

  Поэтому (56.2)Аналогично получаем: (56.3)Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), получаем: (56.4)

• 
  Слайд 5
  

  Явное представление кривой интегрированияЕсли кривая AB задана уравнениемгде функция и её производная непрерывны на отрезке то из формулы (56.4), приняв за параметр, имеем параметрические уравнения кривойоткуда получим: (56.5)В частности, (56.6)

• 
  Слайд 6
  

  Если AB – гладкая пространственная кривая,которая описывается непрерывными на отрезкефункциями и то криволинейный интегралвычисляется по формуле (56.7)

• 
  Слайд 7
  

  Замечание. Криволинейные интегралы Ι и ΙΙ рода связаны соотношениемгде и - углы, образованные касательной к кривой AB в точке с осями и соответственно.Пример 56.1. Вычислитьломаная OAB, гдеРешение: Так как (см. рис. 239), то

• 
  Слайд 8
  

  Уравнение отрезка OA есть y=0, 0≤x≤2; уравнение отрезка AB: y=x-2, согласно формуле (56.5), имеем:

• 
  Слайд 9
  

  Пример 56.2. Вычислитьотрезок прямой в пространстве от точки A(1;0;2) до точки B(3;1;4).Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В:или в параметрической форме:При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что