Презентация на тему "Численное интегрирование"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

• 
  Слайд 2
  

  Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и имеет вид

• 
  Слайд 3

  Задача численного интегрирования

  Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на отрезке задана таблично. Формулы приближенного интегрирования называются квадратурными формулами.

• 
  Слайд 4

  Метод прямоугольников

  основан на непосредственном определении интеграла: где -интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому выбору точек , ,…, на отрезках разбиения

• 
  Слайд 5
  

  Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

• 
  Слайд 6
  

  y 0 + C D A B E b a x Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке f(x) –

• 
  Слайд 7
  

  Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок (i = 0, 1, …,n – 1), а высотой число т.е. значение функции в точке

• 
  Слайд 8
  

  Практически удобно делить отрезок на равные части, а точки  (i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми или с правыми концами отрезков разбиения.

• 
  Слайд 9
  

  Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение интеграла может быть представлено формулой левых прямоугольников: где – шаг.

• 
  Слайд 10
  

  0 x y

• 
  Слайд 11
  

  Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то приближенное значение интеграла вычисляется по формуле правых прямоугольников: .

• 
  Слайд 12
  

  0 y x

• 
  Слайд 13

  Метод трапеций

  Заменим на отрезке дугу AB графика подынтегральной функции y = f(x) стягивающей ее хордой и вычислим площадь трапеции ABba. Примем значение определенного интеграла численно равным площади этой трапеции: Это и есть формула трапеций

• 
  Слайд 14
  

  y 0 A B f(x) b a x

• 
  Слайд 15
  

  Если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеции к каждому отрезку Тогда

• 
  Слайд 16
  

  y 0 x

• 
  Слайд 17
  

  Для простоты вычислений удобно разделить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть Численное значение интеграла на отрезке равно

• 
  Слайд 18
  

  А на всем отрезке соответственно Эта формула называется общей формулой трапеции. Ее можно переписать в виде где – шаг.

• 
  Слайд 19

  Метод парабол (метод Симпсона)

  y 0 x h h

• 
  Слайд 20
  

  функцию y = f(x) на отрезке заменяем квадратичной функцией, принимающей в узлах , , значения , и В качестве интерполяционного многочлена воспользуемся многочленом Ньютона

• 
  Слайд 21
  

  Тогда Это соотношение называется формулой Симпсона.

• 
  Слайд 22
  

  Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на n пар участков и заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона второй степени, получают приближенное значение интеграла на каждом участке длины 2h:

• 
  Слайд 23
  

  ……………………………………

• 
  Слайд 24
  

  Тогда численное значение определенного интеграла на отрезке будет равно сумме интегралов Это соотношение называется общей формулой Симпсона. Ее можно записать также в виде где