Презентация на тему "Электронный образовательный ресурс для обучающихся 11 класс "Комплексные числа""

Содержание

• 
  Слайд 1

  Комплексные числа

  Алгебра и начала анализа. А.Г. Мордкович, профильный уровень 10 класс

• 
  Слайд 2

  Содержание

  Комплексные числа и операции над ними Комплексные числа и координатная плоскость Тригонометрическая форма записи комплексного числа Комплексные числа и квадратные уравнения Возведение комплексного числа в степенью Извлечение кубического корня из комплексного числа

• 
  Слайд 3

  Комплексные числа и операции над ними

• 
  Слайд 4

  Числовые множества

  N – множество натуральных чисел 0 -нуль Множество чисел, противоположных натуральным Z Множество целых чисел Дробные числа Множество рациональных чисел Q R

• 
  Слайд 5
  

  Перед нами числовые множества, свойства которых мы изучали в курсе средней школы. Мы знаем, что с элементами этих числовых множеств можно совершать следующие алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел.

• 
  Слайд 6
  

  N – множество натуральных чисел 0 -нуль Множество чисел, противоположных натуральным Z Множество целых чисел Дробные числа Множество рациональных чисел Q R = -1 C

• 
  Слайд 7
  

  Таким образом, схема расположения основных числовых множеств имеет вид: N Z Q R C. Появилось новое число, которое называют мнимая единица: = -1. Произведение мнимой единицы и действительного числа называют чисто мнимым числом. Например, -4i, 0,3i, 15i, i.

• 
  Слайд 8

  Определение комплексного числа

  Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимой части. Z = a + bi C a R, bR, i – мнимая единица. Приведите примеры комплексных чисел.

• 
  Слайд 9
  

  Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части. a + bi = c + di a=c, b=d Арифметические операции над комплексными числами выполняются по известным Вам алгебраическим правилам: z1+ z2= a + bi+ c + di= (a+c) + (b+d)i. z1- z2= (a + bi)– (c + di) = (a-c) + (b-d)i. z1• z2= (a + bi) • (c + di) = (ac-bd) + (bc+ad)i. Для частного 2 комплексных чисел тоже можно вывести формулу, но лучше запомнить правило: при делении 2 комплексных чисел нужно умножить числитель и знаменатель полученной дроби на число, сопряжённое знаменателю.

• 
  Слайд 10

  Комплексные числа и координатная плоскость

• 
  Слайд 11
  

  Геометрической моделью множества С является координатная плоскость. Каждому комплексному числу Z = a + biможнопоставить в соответствие точку координатной плоскости (a; b). Причём, по оси абсцисс откладывается действительная часть числа, а по оси ординат – мнимая. Построим число z1= 3+2i. 2 3 Y X 0 z1

• 
  Слайд 12
  

  Любую точку на координатной плоскости можно воспринимать двояко: алгебраически, как упорядоченную пару (a; b)действительных чисел, и как вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (a; b). При векторном подходе получают смысл операции сложения, вычитания и умножения. 3 Y X 0 z1 2

• 
  Слайд 13

  Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

• 
  Слайд 14

  Определение модуля комплексного числа.

  Модулем комплексного числа z = a + biназывают число . Обозначение: ІzІ. Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только тогда, когда соответствующая ему точка координатной плоскости лежит на числовой окружности.

• 
  Слайд 15
  

  Если комплексное число z = a + biлежит на числовой окружности, то z = cosα + i sinαдля некоторого действительного числаα; если z = cosα + i sinα, то z лежит на числовой окружности. Y X 0 1 z sinα cosα -1

• 
  Слайд 16

  Тригонометрической формой записи

  отличного от нуля комплексного числа z называют его запись в виде z = ρ(cosα + i sinα) , где ρ– положительное действительное число. Теорема. Всякое отличное от нуля комплексное число z, может быть записано в виде z = ІzІ(cosα + i sinα), где α – некоторое действительное число. Если z = ρ(cosβ + i sinβ) - другая тригонометрическая запись числа z, тоρ = ІzІи β – α = 2πk, k Z.

• 
  Слайд 17

  Задание: Записать в тригонометрической форме число 2 – 2i .

  Решение. z = ІzІ(cosα + i sinα) Найдём модуль числа z = 2 – 2i. Получим ІzІ = =4. Значит, z = 4( ). Осталось вычислить аргумент α, исходя из следующих соображений:cosα = , sinα = - , -π

• 
  Слайд 18

  Комплексные числа и квадратные уравнения

• 
  Слайд 19
  

  Квадратным корнем из комплексного числа z называют комплексное число, квадрат которого равен z. Множество всех квадратных корней из комплексного числа z обозначают . Значит, теперь мы можем найти корни квадратных уравнений, имеющих отрицательный дискриминант: если d

• 
  Слайд 20

  Квадратный корень из комплексного числа.

  Если b≠0, то Эта теорема позволяет извлекать корни из комплексных чисел с ненулевой мнимой частью.

• 
  Слайд 21

  Вычислите

  Решение. = ± ( +i∙ ∙ )=±(4+i). Самостоятельно выполните №35.13 (в). Ответ: ± . Теперь можно извлечь корень из любого комплексного дискриминанта.

• 
  Слайд 22
  

  Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа.

• 
  Слайд 23

  Формула Муавра.

  (ρ(cosα + i sinα))n=ρn(cos nα + i sin nα)), n N. Задание. Вычислить: (2(cos 15° +i sin 15°)6 . Решение. (2(cos15° +i sin 15°)6 =26(cos(15°∙6) +i sin (15°∙6))= =64(cos90° +i sin 90°)=64i.

• 
  Слайд 24

  Извлечение кубического корня из комплексного числа.

  Теорема. Задание классу: §§ 32-36, выписать примеры с решениями. Выполнить домашнюю контрольную работу