Презентация на тему "Формулы для вычисления площадей различных треугольников. 10-й класс"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Формулы для вычисления площадей различных треугольников Проект подготовлен Буяновой Анной Матвеевной, учителем математики МОУ СОШ № 21, г.Подольск.

• 
  Слайд 2
  

  Площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. А S= ½ ab С В D b a

• 
  Слайд 3
  

  Площадь любого треугольника. А a B C D ha Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.

• 
  Слайд 4
  

  Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то площадь такого треугольника можно найти, как половина произведения двух сторон на синус угла между ними. С B A ɣ c a D hа b

• 
  Слайд 5
  

  Площадь треугольника через r-радиус вписанной окружности. Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. А B C O S= ½(a+b+c)r r

• 
  Слайд 6
  

  Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности. A B C O R

• 
  Слайд 7
  

  I формула Герона B C A b с a

• 
  Слайд 8
  

  Доказательство: По теореме косинусов можно записать: Т.К. то ч.т.д.

• 
  Слайд 9

  ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (Heronus Alexandrinus)

  Герон Александрийский – греческий учёный, работавший в Александрии,(даты рождения и смерти неизвестны, вероятно, I – II вв. н. э. ). Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. В "Метрике" даны правила и формулы для точного и приближённого расчёта различных геометрических фигур, например формула Герона для определения площади треугольника по трём сторонам, правила численного решения квадратных уравнений и приближённого извлечения квадратных и кубических корней. В основном изложение в математических трудах Герона догматично – правила часто не выводятся, а только выясняются на примерах. Герон занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой.

• 
  Слайд 10
  

  II формула Герона B C A

• 
  Слайд 11
  

  Итак, мы получили II формулу Герона. И если стороны треугольника а,b,с , то запишем ее в виде: C c b B a A

• 
  Слайд 12
  

  Найти площадь треугольника со сторонами Решение: Задача: А В С

• 
  Слайд 13
  

  Формулы медиан треугольника AD- медиана. Ч.Т.Д. C А B b a c D

• 
  Слайд 14
  

  C C C C C C C C C C C C D B A hc D D B D B D A B D A B D C A B D hc C A B D

• 
  Слайд 15
  

  Площадь треугольника в системе координат Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18) Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат. Найдем площадь треугольника по II формуле Герона.. Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула. 6 -2 0 4 18 y x

• 
  Слайд 16
  

  Если предположить, что х1=у1=0, то получится еще более простая формула: Вывод этой последней формулы приводится ниже . Применим эту формулу к нашему примеру. 4-02-04 2 S = ½ = ½ = ½ (48+ 16)= 32. -2-618-6-812 Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3) s α φ β X Y

• 
  Слайд 17
  

  Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС с вершинами А (х1; у1), В( х2; у2), С( х3; у3). Пусть АВ= с, АС = b, а углы, образованные этими сторонами осью Ох, соответственно равны α и β А' B' = cx= c cos α= x2-x1 (1) A’’B’’= cy= c sin α = y2-y1 А' C' = bx= b cos B= x3-x1 (2) A’’C’’= by= b sin B = y3-y1 Прямоугольная система координат на плоскости: Пусть ф = угол САВ; очевидно ф = β – α По известной формуле тригонометрии получаем: S= ½ bc sin ф = ½ bc sin (β – α) = ½ bc(sin β cos α- cosβ sinα) = ½(by cx-bx cy) (3) Отсюда в силу (1) (2) имеем: S= ½ [(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4) Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде: S= +/- ½ [(x2-x1) (y3-y1) – (x3-x1) (y2-y1)] (4’) Где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число. Формулу (4) можно записать в удобном для запоминания форме: х2-х1 х3-х1 S= ½ у2-у1 у3-у1

• 
  Слайд 18
  

  Восемь формул для нахождения площадей различных треугольников.

• 
  Слайд 19
  

  с С α β Ɣ А В а в Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

• 
  Слайд 20
  

  Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. α β Ɣ А С В а с в

• 
  Слайд 21
  

  Вычисление площади треугольника через все углы и радиус описанной окружности. A B C O

• 
  Слайд 22
  

  Вычисление площади треугольника через все углы и одну из сторон треугольника С α β Ɣ А В а в

• 
  Слайд 23
  

  Oa Ob Oc β a Ɣ b c α Вневписанная окружность- это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей.

• 
  Слайд 24

  Интернет-ресурсы

  Сайт http://www.webmath.ru Вычисление площади треугольника Формула площади треугольника, онлайн сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7-ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.