Содержание
-
Научно-исследовательская работапо теме «Класс элементарных функций и их графики»
Иовлева Максима Николаевича, учащегося 9 класса РМОУ Радужская ООШ. Руководитель Крючкова Татьяна Борисовна учитель, математики. pptcloud.ru
-
Оглавление:
Оглавление 1. Введение. 2.Из истории развития функции 3. Способы задания функции 4. Класс элементарных функций. 4.1.Основные элементарные функции. 4.2. Построение графиков 5. Преобразование исходного графика функции y=f(x). 6. Заключение 7.Список литературы
-
Введение.
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Как образно заметил великий Галилео Галилей (1564 – 1642 гг.), книга природы написана на математическом языке, и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе. Изучая квадратичную функцию в 9 классе, мы выполняли преобразования графика этой функции. В результате этих преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И я задумался: «А нельзя ли выполнять аналогичные преобразования с графиками других функций, например линейной функции, обратной пропорциональности, степенной функции?». Поэтому я выбрал тему своей работы «Класс элементарных функций и их графики», поставив перед собой цель: понять и изучить способы образования элементарных функций и преобразования их графиков.
-
Из истории развития функции.
Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия», и её появление послужило, по словам Ф. Энгельса, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в неё вошли движение, диалектика. Без переменных величин И.Ньютон не смог бы выразить законы динамики, описывающие процессы механического движение тел – небесных и вполне земных, а современные ученые не могли бы рассчитывать траектории движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.
-
С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия. Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие некоторый объект из другого (или того же) класса – области возможных значений функции. Но мы не рассматриваем понятие функции в столь общем понимании, а считаем, что как независимая, так и зависимая переменные – это величины. Таким образом функцией называется зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из некоторой области ее изменения определенное значение другой величины (функции). Если аргумент обозначить через х, значение функции - через у, а саму зависимость – функцию – символом f, то связь между значениями функции и аргументом так: y=f(x).
-
Способы задания функций.
Существуют три основных способа выражения зависимостей между величинами: табличный, графический и аналитический («формульный»). Табличный способ важен потому, что является основным при обнаружении реальных зависимостей и может оказаться к томуже единственным средством их задания (формулу не всегда удается подобрать, а порой в ней и нет необходимости).К табличному заданию функции часто переходят при выполнении практических расчетов, с ней связанных: например, применение таблиц квадратных корней удобно при проведении расчетов, в которых участвуют такие корни. С математической точке зрения, табличное задание непрерывных зависимостей всегда неполно и дает лишь информацию о значениях функции в отдельных точках.
-
Способы задания функций
Графический способ представления зависимостей также является одним из средств их фиксации при изучении реальных явлений. Это позволяет делать различные «самопишущие» приборы, такие, как сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и т.п., изображающие информацию об изменении измеряемых величин в виде графиков. Но если есть график, то значит, определена и соответствующая ему функция. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Однако графический способ задания функции неудобен для расчетов; к тому же, подобно табличному, он является приближенным и неполным. Аналитическое (формульное) задание функции отличается своей компактностью, легко запоминается и содержит в себе полную информацию о зависимости. Функцию можно задать с помощью формулы, например: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Эти формулы можно вывести с помощью геометрических или физических рассуждений. Порой формулы получаются в результате обработки эксперимента, такие формулы называются эмпирическими.
-
Класс элементарных функции
К элементарным функциям относятся практически все функции, встречающиеся в школьном учебнике. Прежде всего, имеется достаточно представительный набор широко известных и хорошо изученных функций, которые называются основными элементарными функциями. Это функции: y=C, называемая константой, y= xа - степенная ( при а = 1 получается функция y=x, называемая тождественной). Графики этих функций прилагаются. (приложение 1-7) Имея в распоряжении основные элементарные функции, можно ввести ряд операций, позволяющих комбинировать их между собой как детали для получения более сложных и разнообразных конструкций. Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. Все те функции, которые можно получить из основных элементов с помощью арифметических операций называются элементарными функциями составляют класс элементарных функций.
-
Приложение 1
-
Приложение 2
-
Приложение 3 У=х2
-
У=х3 Приложение4
-
Степенная функция У=х-1 Приложение 5
-
Приложение6 Степенная функция у=х0,5
-
Образование класса элементарных функций
Имея определенный набор базисных функций f1 , f2 ,f3 ,...fk и допустимых операций F1, F2, ... Fs над ними (их разрешается применять любое число раз), мы можем получать другие функции, подобно тому, как из деталей конструктора с помощью определенных правил их соединения можно получить разные модели. Класс всех получаемых таким образом функций обозначается так: . В частности, если принять за базисные все основные элементарные функции и допустить лишь арифметические операции, то получим класс элементарных функций. Беря в качестве базисных часть основных элементарных функций и допуская, возможно, лишь часть указанных операций, получим некоторые подклассы класса элементарных функций, некоторые семейства функций, порождаемые данным базисом и данными операциями. Вот несколько примеров таких семейств функций, где под (а) понимается операция умножения на любую константу: - семейство целых положительных степеней у=х, где n € N; - семейство линейных функций у= ах+в; - семейство многочленов у= ахn +...+an-1x +an, где n € N.
-
Построение графиков
Чтобы построить график функции у= х +1, надо к графику функции у=х прибавить график функции у=1. В результате график функции у = х сдвинется по оси Оу на 1 единицу вверх (приложение 7).
-
-
Построение графиков графика.
Для построения графика функции у=х2 достаточно выполнить действие умножение с графиками двух тождественных функций у=х (приложение 8).
-
У=х2
-
Построение графиков
Для построения графика функции у= 3х2 надо график функции у= х2 умножить на 3. В результате график функции у= х2 растянется в 3 раза вдоль оси ординат, а если у=0,3 х2 , то произойдет сжатие графика в 0,3 раза вдоль оси Оу. (приложение 8, 9).
-
У=х2 У=3Х2
-
У=Х2 У=0,3Х2 10
-
Построение графиков
График функции у=3(х -4)2 можно получить, выполнив следующие действия: - сложить графики тождественной функции у=х и константы у=-4, получим график функции у=х-4; - перемножить графики функций у=х-4 и у=х-4, получим график функции у= (х -4)2 ; - умножить у= (х -4)2 на 3, получим график функции у=3(х -4)2. Или просто график функции у=3х2 сдвинуть по оси Ох на 4 единичных отрезка (Приложение10).
-
У=3Х2 У=3(Х-4)2 Приложение11
-
Преобразования исходного графика функции y= f(x).
Из вышесказанного можно сделать следующий вывод, что выполняя различные действия с графиками элементарных функций, мы выполняем преобразования этих графиков, а именно: параллельный перенос, симметрию относительно прямой Ох и прямой Оу.
-
Параллельный перенос. а)y= f(x)+а – сдвиг по оси Оу на а единиц вверх, если a>0, или вниз, если a0, или вправо, если a
-
Приложение 12
-
-
Преобразования исходного графика функции y= f(x).
Симметрия относительно оси Ох. а) у=- f(x) – симметричное отражение графика относительно оси Ох; б)у =│f(x)│- замена частей графика, лежащих ниже Ох, отражением относительно этой оси части, лежащей ниже оси Ох, с сохранением остальных частей графика . (Приложение 13 и 14)
-
Приложение 14
-
Приложение 15
-
Преобразования исходного графика функции y= f(x).
Симметрия относительно оси Оу. а) у = f(-x) – симметричное отражение графика относительно оси Оу; б) ) у= f(│x│) – замена части графика, лежащей левее Оу, отражением относительно этой оси части, лежащей правее оси Оу с сохранением правой части графика. (Приложение 15 и 16)
-
Приложение 16
-
Приложение 17
-
Заключение.
Заканчивая свою работу я увидел, что строить графики элементарных функций интересно и просто. А график является портретом функции, поэтому функцию можно назвать поистине красавицей. Математика – это набор инструментов, который необходим в познании окружающего мира. И этим инструментом необходимо владеть в совершенстве, чтобы познавать, развивать и изменять нашу жизнь.
-
Список литературы.
Н.П. Токарчук «Красавицы функции и их графики». В.К.Егоров, Б.А.Радунский, Д.А.Тальский «Методика построения графиков функций». Ю.Н.Макрычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б,Севорова «Учебник алгебры».
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.