Презентация на тему "Применение производной к исследованию функций"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Применение производной к исследованию функций2 курс

• 
  Слайд 2
  

  Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение.А.Н. Крылов(Русский советский математик, кораблестроитель, академик)

• 
  Слайд 3
  

  Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

• 
  Слайд 4

  Исследование функции:

  D(f) E(f) промежутки возрастантия и убывания четность и т.п…

• 
  Слайд 5

  Повторение

  Четность, нечетность функций Периодичность Нули функции Промежутки знакопостоянства Монотонность функции далее

• 
  Слайд 6

  Четность функций

  Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение (–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x) четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат f(x0) f(-x0) y = f(x) у х 0

• 
  Слайд 7
  

  y x x0 - x0 f(x0) f(-x0) O y = f(x) Нечетность функций Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение (–x)также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат повторение

• 
  Слайд 8
  

  Определение:Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T) y 1 2 4 3 -1 x O T y = f(x) Периодичность функций повторение

• 
  Слайд 9
  

  x y O x1 x3 x2 y = f(x) х1, х2, х3 – нули функции у = f(x). Нули функции Определение:Нулем функции называется такое действительное значение x,при которомзначениефункцииравнонулю. Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнениеf(x) = 0Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x) Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью, ординаты данных точек нулевые повторение

• 
  Слайд 10
  

  Промежутки знакопостоянства Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, еслиf(x) > 0, и ниже оси абсцисс,еслиf(x) 0 при x > a f(x)

• 
  Слайд 11
  

  Монотонность функции Определение: Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается. y x O y x3 x2 x1 монотонно возрастает y = f(x) y x O y = f(x) монотонно убывает y x3 x2 x1 повторение

• 
  Слайд 12
  

  Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна, то функция на этом промежутке возрастает,т.е.f’(x)>0, f(x) Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательна, то функция на этом промежутке убывает, т.е.f’(x)

• 
  Слайд 13
  

  f’(x)>0 f’(x)

• 
  Слайд 14
  

  Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует

  Критические точки функции- (4: 1/2) f’(xi)=kкас=0, касат II OX, перегиб графика, смена поведения Нет производной

• 
  Слайд 15
  

  критические точки Достаточный признак возрастания или убывания функции Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=х3 -3х2 +2 Решение: 1) f ’(x)=(x3-3x2+2)’=3х2-6х=3х(х-2) 2)Находим критичекие точки: f’(x)=0, т.е. 3х(х-2)=0 при х=0 х=2 3) Исследуем знак производной методом интервалов Ответ:f(x) на (-; 0) (2;) f(x) на (0;2)

• 
  Слайд 16
  

  ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ Точка х0называется точкой максимума (xmax )функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство Окрестностью точки х0 - называется промежуток, для которого точка х0 является внутренней.

• 
  Слайд 17
  

  Точка х1называется точкой минимума(xmin )функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство Точки минимума и максимума называются точками экстремума (крайние, конечные) Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумомфункции (ymin и ymax) Максимум и минимум функции называется экстремумом функции

• 
  Слайд 18
  

  max min max Точки экстремумов хі

• 
  Слайд 19

  Обратите внимание!!!

  Что происходит с производной при переходе через экстремальную точку? Что происходит с самой функцией при переходе через экстремальную точку? удачи в изучении ))