Презентация на тему "Исследование функции на монотонность и экстремумы" 7 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Тема:Исследование функции на монотонность и экстремумы.

  Монотонность функции Экстремумы функции Учитель математики КОР №1 Березина М.Г.

• 
  Слайд 2

  Исследование функции по графику

  По графику функции найдите: промежуткивозрастания и убывания функции; точки экстремума и экстремумы функции

• 
  Слайд 3

  Возрастание и убывание функции

  Опр. 1Функция y=f(x), определяемая на интервале (a;b), называется возрастающейна этом интервале, если из неравенства x2>x1, где x2и x1– любые две точки из интервала, следует неравенство f(x2)>f(x1). Если обозначить Δx= x2-x1 и Δf= f(x2)-f(x1), то Δf ____ > 0 Δx

• 
  Слайд 4
  

  Опр.2Функция y=f(x), определяемая на интервале (a;b), называется убывающейнаэтом интервале, если из неравенства x2>x1, следует неравенство f(x2)

• 
  Слайд 5

  Теорема 1.(необходимое условие возрастания функции)

  Еслидифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает, то ее производная не может быть отрицательной ни в одной точке этого интервала, т.е. f‘(x)≥0 для a

• 
  Слайд 6

  Теорема 2. (Необходимое условие убывания функции)

  Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) убывает, то ее производная не может быть положительной ни в одной точке этого интервала, т.е. f‘(x)≤0 для a

• 
  Слайд 7

  Теорема 3. (Достаточное условие возрастания функции)

  Если непрерывная на [a;b] функция y=f(x) в каждой внутренней точке имеет положительную производную, то функция возрастает на [a;b] Доказательство: Пусть y=f'(x) для всех a x1из [a;b]. По теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=(x2-x1) f'(с), где x1≤с0 и x2-x1>0 имеем f(x2)-f(x1)>0, т.е. из x2>x1следует f(x2) >f(x1), т. е. функция возрастает, ч.т.д.

• 
  Слайд 8

  Теорема 4. (Достаточное условие убывания функции)

  Если непрерывная на [a;b] функция y=f(x) в каждой внутренней точке имеет отрицательную производную, то функция убывает на [a;b]. Пример 1. Найти интервал монотонности функции y=x3-3x. Решение. Находим область определения функции D(y)=R

• 
  Слайд 9
  

  Находим производную функции y′=3x2-3 y′>0, если 3x2-3>0 при x(-;-1)  (1;+) y′

• 
  Слайд 10

  Точки экстремума и экстремумы функции

  Опр. 3 Точка x0называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая -окрестность точки x0, что для всех x≠x0из этой окрестности выполняется f(x)

• 
  Слайд 11
  

  Опр. 4Точка x0называется точкой минимума функции y=f(x), если существует число >0, что для всех х,удовлетворяющих условию 0 f(x0)

• 
  Слайд 12
  

  Точка максимума и точка минимума называются точками экстремума. Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции, т.е. fmax=f(xmax) – максимум функции fmin=f(xmin) – минимум функции.

• 
  Слайд 13

  Теорема 5. (Необходимое условие экстремума)

  Если дифференциальная функция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна 0, т.е. f′(x0) =0. Доказательство: Пусть x0 – точка максимума, тогда в окрестности точки x0 выполняется f(x0)>f(x), поэтому и По условию существует производная, которая равна Имеем: f’(x0)≤0 при Δx>0 и f’(x0)≥0 при Δx

• 
  Слайд 14

  Теорема 6. (Достаточное условие экстремума)

  Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в -окружности критической точки х0 и при переходе через нее (слева направо) f′(x) меняет знак, то х0 – точка экстремума, причем, если с «+» на «-», то х0 – точка максимума, с «-» на «+», то х0 – точка минимума. Доказательство: Рассмотрим -окр-сть точки х0. Пусть f′(x) >0 при любых х (х0 - ;х0) и f′(x)

• 
  Слайд 15

  Пример 2. Найти экстремумы функции

  Решение. D(y)=R, . y′=0 при х=8 и y′не существует при х=0 Поставим эти точки на числовой прямой и расставим знаки производной. xmax=0, xmin=8 ymax=0, ymin=8/3-4=- 4/3 Ответ: уmin=-4/3; ymax=0