Презентация на тему "Применения производной к исследованию функций"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Применения производной к исследованию функций

• 
  Слайд 2

  Оглавление

  Схема исследования функций; Признак возрастания (убывания) функции: Достаточный признак возрастания функции; Достаточный признак убывания функции; Критические точки функции: Необходимое условие экстремума; Признак максимума функции; Признак минимума функции.

• 
  Слайд 3

  Схема исследования функций

  Найти области определения и значений данной функции f. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства функции f. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

• 
  Слайд 4

  Признак возрастания (убывания) функции

• 
  Слайд 5
  

  Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции.Если f´ (х)

• 
  Слайд 6

  Доказательство признака возрастания (убывания) функции

  Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа: f´

• 
  Слайд 7

  Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции

  Дано: f (x) = -2x + sin x Найти: промежутки возрастания (убывания) функции Решение Функция определена на всей числовой прямой. Найдем f´(x). f´ (x) = -2 + cos x. |cos x | ≤ 1 => f´ (x)

• 
  Слайд 8

  Критические точки функции, максимумы и минимумы

• 
  Слайд 9

  Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)

  Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0

• 
  Слайд 10
  

  Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

• 
  Слайд 11

  Примеры критических точек, в которых производная не существует

• 
  Слайд 12

  Признак максимума функции

  Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х)

• 
  Слайд 13

  Признак минимума функции

  Если функция f непрерывна в точке х0,f´ (х) 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f. Упрощённая формулировка признака: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

• 
  Слайд 14

  Пример нахождения точек экстремума функции

  Дано: f (x) = 3x – x3 Найти: Точки экстремума функции Решение Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2 f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1 f´ (x) 0 при -1

• 
  Слайд 15
  

  Проект выполняла Сергеева Вероника, ученица 11 класса,с использованием следующих материалов:

  Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы.