Презентация на тему "Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Определение чисел arcsina, arccosa,arctga, arcctga

  Автор Календарева Н.Е. © 2011 г.

• 
  Слайд 2

  План

  Теорема о корне монотонной функции Возрастание синуса на отрезке [−π/2; π/2] Определение арксинуса числа График синуса на отрезке [−π/2; π/2] Примеры Определение арккосинуса числа Определение арктангенса числа Определение арккотангенса числа

• 
  Слайд 3

  Теорема о корне монотонной функции

  Пусть функцияf(x) возрастает (убывает) на промежутке

  , а число а – любое из значений функцииf из множества значений. Тогда уравнение f(x) = aимеет единственный корень в промежутке

  .

• 
  Слайд 4

  Доказательство

  Доказательство для возрастающей функции. По условию число а – какое-либо значение функции f, т.е. в промежутке

  существует такое числоb, что f(b) = a. Докажем единственность.

• 
  Слайд 5
  

  От противного. Допустим, на промежутке есть еще одно число с≠ b, такое что f(c) = a. Но а = f(b), т.е. f(c) = f(b). Так как с≠ b, то для определенности пусть c > b. Но функция fвозрастает на

  , поэтому f(c) > f(b). Это противоречит равенству f(c) = f(b).

• 
  Слайд 6
  

  Следовательно, числоbодно, т.е. на промежутке

  функция fимеет единственный корень. Теорема доказана.

• 
  Слайд 7

  Возрастание синусана отрезке [−π/2; π/2]

  Функция синус на отрезке [−π/2; π/2] возрастает. Докажем это. Пусть х1, х2(−π/2; π/2)и х1 0. sinx2 – sinx1=

• 
  Слайд 8
  

  Имеем неравенства , Сложим − π

• 
  Слайд 9
  

  Сложим  0. Получим Следовательно, синус этого числа > 0. Доказали, что синус возрастает на отрезке [−π/2; π/2] .

• 
  Слайд 10

  Определение арксинуса числа

  Функция синус принимает значения из отрезка [− 1; 1]. Рассмотрим уравнение sinx= a, где | a | ≤ 1. По теореме о корнеуравнение sinx= a имеет один корень bиз отрезка [−π/2; π/2] такой, что sinb = a. Это число b называется арксинусом числа а. Обозначают arcsina.

• 
  Слайд 11
  

  Арксинусом числа а из отрезка [− 1; 1] называется такое число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен а.

• 
  Слайд 12

  График синуса на отрезке [−π/2; π/2]

  sinb = a; b = arcsina, где а [− 1; 1], b [−π/2; π/2].

• 
  Слайд 13

  Чему равен arcsinследующих чисел?

  arcsin0 = Ответ: arcsin0 = 0. 2. arcsin1 = Ответ: arcsin1 = π/2. 3. arcsin(1/2) = Ответ:arcsin(1/2) = π/6. 4. arcsin2 ТАК НЕЛЬЗЯ ПИСАТЬ!

• 
  Слайд 14
  

  5. arcsin(−1) = Ответ: arcsin(−1) = − π/2. 6. arcsin(− 1/2) = Ответ:arcsin(− 1/2) = −π/6.

• 
  Слайд 15

  Определениеарккосинуса числа

  Функция косинус убывает на отрезке [ 0; π]. (доказательство аналогично). Рассмотрим уравнение cosx= a, где | a | ≤ 1. По теореме о корне это уравнение имеет один корень bиз отрезка [ 0; π] такой, что cosb = a.

• 
  Слайд 16
  

  Это числоназывается арккосинусом числа а. Обозначают arccosa. Арккосинусом числа а из отрезка [− 1; 1] называется такое число из отрезка [ 0; π], косинус которого равен а.

• 
  Слайд 17

  График косинусана отрезке [ 0; π]

  cosb = a; b = arccosa, где а [− 1; 1], b [ 0; π].

• 
  Слайд 18

  Чему равен arccosследующих чисел?

  arccos0 = Ответ: arccos0 =π/2. 2. arccos1 = Ответ: arccos1 =0. 3. arccos(1/2) = Ответ:arccos(1/2) = π/3. 4. arccos(3/2) ТАК НЕЛЬЗЯ ПИСАТЬ!

• 
  Слайд 19
  

  5. arccos(−1) = Ответ: π.

• 
  Слайд 20

  Определениеарктангенса числа

  Функция тангенс возрастает на интервале (−π/2; π/2). Ее множество значений – это R. Рассмотрим уравнение tgx = a, где а – любое число. На промежутке возрастания, т.е. на интервале (−π/2; π/2) это уравнение имеет один корень bтакой, что tgb = a.

• 
  Слайд 21
  

  График тангенса на (−π/2; π/2) tgb = a; a = arctgb, где а (−∞; +∞), b(−π/2; π/2).

• 
  Слайд 22
  

  Это число называется арктангенсом числа а и обозначают arctga. Арктангенсом числа а, где а – любое число,называется такое число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен а.

• 
  Слайд 23

  Определениеарккотангенса числа

  Функция котангенс убывает на интервале (0; π). Ее множество значений – это R. Рассмотрим уравнение ctgx = a, где а – любое число. На промежутке убывания, т.е. на интервале ( 0; π) это уравнение имеет один корень bтакой, что ctgb = a.

• 
  Слайд 24
  

  Это число называется арккотангенсом числа а и обозначают arcctga. Арккотангенсом числа а, где а – любое число,называется такое число из интервала ( 0; π), котангенс которого равен а.

• 
  Слайд 25

  График котангенсана ( 0; π)

  ctgb = a; a = arcctgb, где а (−∞; ∞), b( 0; π).

• 
  Слайд 26

  Домашнее задание

  Выучите определения арксинуса числа, арккосинуса числа, тангенса и котангенса чисел (на оценку) Надо понимать, что такое арксинус числа, как он изображается на круге, на какой дуге и т.д.