Презентация на тему "Площади фигур"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Площадь

  Учитель математики МОУ лицея №18 И.В.Дымова Презентация уроков по геометрии 8 класс по главе учебника pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Работу выполняла ученица 11«4» классаСтепанова Аня

• 
  Слайд 3

  Основные свойства площадей.

• 
  Слайд 4

  Первое свойство:

  Площадь плоской фигуры – неотрицательное число. А С В

• 
  Слайд 5

  Второе свойство:

  Площади равных фигур равны. А В С А1 С1 В1 SАВС= SА1В1С1

• 
  Слайд 6

  Третье свойство:

  Если фигура разрезана на несколько частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

• 
  Слайд 7

  Четвертое свойство:

  Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. А В С D а а SАВСD =a² а=1

• 
  Слайд 8

  Разрезания и складывания

  Основной принцип метода "разрезания и складывания" основан на том, что если два многоугольника удается разбить на одинаковые части (такие многоугольники называют равносоставленными), то отсюда вытекает, что площади этих многоугольников равны (фигуры, площади которых равны, называются равновеликими). А В С D Е F А1 В1 С1 D1 Е1 F1 SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1

• 
  Слайд 9

  Теорема

  Если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых можно составить другой многоугольник.

• 
  Слайд 10

  Отношения площадей

  для того, чтобы установить связь двух площадей, часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников, используя 5 свойство. А С В Н А1 С1 В1 Н1 SABCD=SA1B1C1D1

• 
  Слайд 11

  Площадь многоугольника

  Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Равные многоугольники имеют равные площади. А В С D Е F А В С D Е F SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1

• 
  Слайд 12

  Площадь квадрата

  Рассмотрев 4 свойство, докажем, что площадь Sквадрата со стороной а равна а². Начнем с того случая, когда а=1/n.Где n-целое число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов. Так как площадь большого квадрата равна 1 То площадь каждого маленького квадрата равна 1/n² 1/n 1

• 
  Слайд 13

  Задача

  Пусть O – точка пересечения отрезков АС и BD (рис. 4.2). Докажите, что для того, чтобы площади треугольников AOB и CODбыли равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые ВС и AD были параллельны. А В С D O

• 
  Слайд 14

  Решение:

  Для того, чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: 1. Если прямые ВС и AD параллельны, то площади треугольников АОВ и COD равны; 2. Если площади треугольников АОВ и COD равны, то прямые ВС и AD параллельны. А В С D O SАОВ=SСОD → ВС║АD

• 
  Слайд 15

  Площадь прямоугольника.Теорема:

  Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

• 
  Слайд 16

  Доказательство теоремы:

  Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а+b, площадь этого квадрата равна (а+b)². Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадь S. Докажем, что S=аb. S S S а² а b a b b а а b b a

• 
  Слайд 17

  решение

  C другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а² и b². Имеем: (a+b)²=S+S+a²+b² От сюда получаем S=ab. Теорема доказана.

• 
  Слайд 18

  Площадь параллелограмма.Теорема:

  Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

• 
  Слайд 19

  Доказательство:

  Рассмотрим параллелограмм ABCDсплощадьюS. Примем сторонуAD за основание и проведем высоту ВН и СК. Требуется доказать, что S=AD∙BH А Н D K C B 1 2

• 
  Слайд 20
  

  Докажемсначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольникаDCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольников НВСК и треугольник АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и остр. углу (АВ=СD, углы 1=2),поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC∙BH, а так как ВС=АD, то S=AD∙BH. Теорема доказана.

• 
  Слайд 21

  Площадь треугольника.Теорема:

  Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. S=½АВ ∙ СН

• 
  Слайд 22

  Доказательство:

  Пусть S – площадь треугольника АВС. Примем сторону АВ за основание и проведем высоту СН. Докажем, что S=½АВ∙СН Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС.Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС - их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равны половине площади параллелограмма АВDС, т. Е. S=½АВ∙СН. Теорема доказана. А Н D C B

• 
  Слайд 23

  Следствие 1:

  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

• 
  Слайд 24

  Следствие 2:

  Если высоты двух треугольников равны ,то их площади относятся как основания. Воспользовавшись этим следствием докажем теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

• 
  Слайд 25

  Теорема:

  Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

• 
  Слайд 26

  Доказательство:

  Пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1, у которых углы А=А1 . Докажем, что S/S1 = АВ/А1В1∙АС/А1С1 С В А S А1 С1 В1 S1

• 
  Слайд 27
  

  Наложим треугольники АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, а стороны АВ и АС наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому S/SАВ1С = АВ/АВ1. Треугольники АВ1С АВ1С1 также имеют общую высоту – В1Н1 , поэтому SАВС /SАВС =АС/АС1 .Перемножаем полученные равенства. Теорема доказана. С А(А1) Н В1 В Н1 С1

• 
  Слайд 28

  Площадь трапеции.

  Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. S3 S2 S1 S=S1+S2+S3

• 
  Слайд 29

  Теорема:

  Площадь трапеции равна произведению полу-суммы ее оснований на высоту.

• 
  Слайд 30

  Доказательство:

  Рассмотрим трапецию АВСD с основанием AD и ВС, высотой ВН и площадью S. Докажем, что S=½(AD+ВС)∙ВН. Диагональ ВD разделяет трапецию на дватреугольника АВD DCВ,поэтому S=SABD+SBCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника АВD, а отрезки ВС и DН1 за основания и высоту треугольника ВСD. Тогда SABD=½AD∙BH, SBCD=½ВС∙DH1 . Так как DH1=BH, то SBCD=½AD∙BH. Таким образом, S=½AD∙ВН+½ВС∙ВН=½(АD+ВС)∙ВН. Теорема доказана. С А В D Н1 Н