Презентация на тему "Поверхности 2 го порядка"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Поверхности второго порядка Презентация Тема:Поверхности 2-го порядка Предмет: Математика Студент: Максимов Артур Группа: 17 ДМ Преподаватель: Сытенкова Татьяна Викторовна

• 
  Слайд 2

  Поверхности второго порядка

  Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида: где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Это уравнение называют общим уравнением поверхности второго порядка S (обозначим это ур-е 1),а систему координатOxyz называют общей системой координат. Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов. 1) — эллипсоид, 2) — мнимый эллипсоид, 3) — однополостный гиперболоид, 4) — двуполостный гиперболоид, 5) — конус, 6) — мнимый конус (точка), 7) — эллиптический параболоид, 8) — гиперболический параболоид,

• 
  Слайд 3
  

  9) — эллиптический цилиндр, 10) — мнимый эллиптический цилиндр, 11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z), 12) — гиперболический цилиндр, 13) — две пересекающиеся плоскости, 14) — параболический цилиндр, 15) — две параллельные плоскости, 16) — две мнимые параллельные плоскости, 17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ). В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p­— положительные параметры. Систему координат называют канонической.

• 
  Слайд 4
  

  Поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид: a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44  =0 (2) Так как инвариант I3  для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 •  а22 •  a33 , то коэффициенты a11,а22, a33 удовлетворяют условию : Возможны следующие случаи : 1. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом. Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме: 2. Если из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других— противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом. 3. Если знак одного из первых трех коэффициентов a11, а22, a33, а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

• 
  Слайд 5
  

  Эллипсоид Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: Свойства эллипсоида: Эллипсоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

• 
  Слайд 6
  

  1. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид: Свойства гиперболоида: Однополостный гиперболоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола. Гиперболоиды

• 
  Слайд 7
  

  2. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид: Свойства двуполостного гиперболоида: Двуполостный гиперболоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при |z| > c получается эллипс, при |z| = c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола. Гиперболоиды

• 
  Слайд 8
  

  Параболоиды 1. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид: Свойства эллиптического параболоида: Эллиптический параболоид обладает 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осейOxzи Oyz, В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

• 
  Слайд 9
  

  Параболоиды 2. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид: Свойства гиперболического параболоида: Гиперболический параболоид обладает 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осейOxzи Oyz, В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

• 
  Слайд 10
  

  Конус и цилиндры второго порядка 1. Конус. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

• 
  Слайд 11
  

  Конус и цилиндры второго порядка 2. Эллиптический цилиндр. Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид:

• 
  Слайд 12
  

  Конус и цилиндры второго порядка 3. Гиперболический цилиндр. Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид:

• 
  Слайд 13
  

  Конус и цилиндры второго порядка 4. Параболический цилиндр. Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид:

• 
  Слайд 14
  

  Задачи Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F: Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Следовательно, F – эллиптический цилиндр. Его направляющая y задается уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxz), а образующиепараллельные координатному вектору . Поверхность F изображена на рисунке 1.

• 
  Слайд 15
  

  Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F: Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Следовательно, F – гиперболический цилиндр. Его направляющая y задается уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxy). y – гипербола с мнимой осью Ox. Поверхность F изображена на рисунке 2.

• 
  Слайд 16
  

  3. Найти точки пересечения поверхности и прямой: и Решение: , Полученную систему подставим в исходное уравнение. или отсюда .