Содержание
-
Научно-исследовательскаяработа по теме: «Применение производной в заданиях ЕГЭ» Авторы: ученики 11 класса «Б» Славинская Юлия, Помаскин Владимир Руководитель: учитель математики ВКК Гончарова Светлана Евгеньевна МБОУ средняя школа № 1 с. Анучино 2012 год
-
Цель:
Показать актуальность включения темы “Производная и ее применение” в задания для проведения ЕГЭ по математике.
-
Задачи:
Показать важность знаний исторического и теоретического материала по теме «Производная». Определитьпроцент учащихся, владеющих данным материалом и применяющих его при решении задач различного уровня сложности путем проведения анкетирования. Проанализировать основные способы решения заданий, рекомендованных для ЕГЭ по математике Способствовать развитию познавательной активности учащихся и интереса к изучаемым понятиям при помощи информационных технологий.
-
План исследования
Изучение и отбор литературы. Анализ заданий, рассматриваемых на ЕГЭ по данной теме. Проведение анкетирования среди учащихся 11 классов.Формулировка выводов.
-
Гипотеза: Тема «Производная и её применение» является значимой в курсе изучения математики в 10 — 11 классах и при дальнейшем обучении в высших учебных заведениях.
-
Содержание : 1.Исторические сведения- 7 2.Теоретический материал- 11 - Что такое производная-12 - Как найти производную- 13 - Таблица производных- 14 - Производная произведения. Формулы- 15 - Производная частного. Формулы- 17 - Вычисление производных простых функции- 19 - Вычисление производных сложных функции- 22 3. Решение заданий из сборника по подготовке к ЕГЭ 2011 года - 32 4. Заключение - 42 5. Используемая литература - 43
-
Исторические сведения
В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.
-
Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.
-
Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.
-
Василий Иванович Висковатов(26 декабря 1779 (6 января 1780), Санкт-Петербург — 8 (20) октября 1812, Санкт-Петербург) — русский математик. Известный специалист в области математического анализа и вариационного исчисления, один из активных последователей С. Г. Гурьева в пропаганде новых передовых научных идей.Выпущен из Артиллерийского и Инженерного Шляхетского Кадетского Корпуса в 1796 года штык-юнкером в корпусные офицеры. С 1803 года признан крупным математиком, избран академиком Петербургской Академии наук. С 1810 года — профессор чистой и прикладной математики в Институте Корпуса инженеров путей сообщения.Впервые употребил русский термин "производная функции".Назад
-
Теоретический материал по теме «ПРОИЗВОДНАЯ»
-
Производные - это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной. Возникает вопрос? Почему производная есть тоже функция? Дело в том, что предел функции мы можем вычислить только в точке, а значение предела есть число f'(x0). Но если менять это число x0, то f'(x0) будет тоже функцией от x0.
-
Как найти производную?
1. Необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций. 2. Уметь видеть, как составная функция строится из основных элементарных функций. 3. Знать формулы производной составных функций – то есть производных суммы, произведениясложной функции и часного сложной функции (производной суперпозиции).
-
Таблица производных
-
Производная произведения. Формула
Формула производной произведения читается следующим образом: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции: u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) Итак рассмотрим пример: Найти производную функции ex·sin(x) Приводим формулы из таблицы производных: (ex)'=ex, (sin(x))'=cos(x). Мы видим, что данная функция – составная. Она составлена из произведения двух функций, поэтому мы должны применить формулу производной произведения. Для этого мы берем первый сомножитель и находим его производную: (ex)' Далее, умножаем эту производную на второй сомножитель (ex)'·sin(x)
-
Берем второй сомножитель, а точнее - его производную: (sin(x))' Умножаем производную второго сомножителя на первый сомножитель ex·(sin(x))' Далее, складываем эти два полученные выражения (ex·sin(x))'=(ex)'·sin(x)+ex·(sin(x))' Сравните это выражение с основной формулой u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x). Как видим, очень похоже. Тепрерь мы пришли, наконец, к предыдуще задаче, которую уже умеем решать. В самом деле? осталось только подставить подставить вместо (ex)' выражение ex, а вместо (sin(x))' cos(x) и провести преобразования: (ex·sin(x))'=(ex)'·sin(x)+ex·(sin(x))'=ex·sin(x)+ex·cos(x)=ex·(sin(x)+cos(x)) Все, производная найдена, наша задача решена окончательно! назад
-
Производная частного функций
Формула производная частного, формула производной отношения двух функций записывается следующим образом: [u(x)/v(x)]'=[u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)] Итак пример: Найти прозводную функции f(x)=(√x)/x2 Мы прекрасно видим, что данная функция является отношением, частным двух функций. Поэтому мы применяем формулу производной частного. Как и ранее нужно взять производную числителя и умножить ее на производную знаменателя: (√x)'·x2 Берем числитель и умножаем его на производную знаменателя (√x)·(x2)' Берем разность первого полученного выражения и второго и делим эту разность на квадрат знаменателя или умножаем на единицу деленную на квадрат знаменателя: [(√x)'·x2-(√x)·(x2)']·[1/x2] Сравните это выражение с выражением [u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)]
-
Далее, подставляем уже известные выражения производных числителя и знаменателя и упрощаем выражение полученной производной:[(√x)'·x2-(√x)·(x2)']·[1/(x2)2]=[(1/2√x)·x2-(√x)·2x]·[1/(x2)2]=[(1/2x½)·x2-(x½)·2x]·[1/(x2)2]=[½·x(2-½)-2·x2+½]·[1/x4]=[½·x3/2-2·x3/2]·[1/x4]=-[(3/2)·x3/2]·[1/x4]=-(3/2)·x-5/2Здесь мы воспользовались тем, что корень квадратный есть степень с показателем (1/2), при умножении степеней их показатели складываются, при делении степеней – показатели вычитаются, а при возведении степени в степень показатели перемножаются. Также при делении разности на некоторый знаменатель каждый член этой разности делится на знаменатель и берется их разность.назад
-
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Комментарий. После применения теоремы о производной суммы (Теорема 3) образовалось три производных. Первая производная табличная, вторая сводится к табличной после вынесения константы за знак производной (ТЕОРЕМА 2), третья производная равна нулю, так как дифференцируется константа.
-
Пример 2. Комментарий. После применения теорема о производной произведения (ТЕОРЕМА 4) возникло две производных. Первая производная сводится к табличным производным в результате применения теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3). Вторая производная является табличной.
-
Пример 3.Комментарий. После применения теоремы о производной частного (ТЕОРЕМА 5) образовалось две производных. Вторая производная табличная, а первая в результате использования теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3) сводится к табличным производным.
-
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример 1. Вычислить производную от функции Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом: Согласно теореме о сложной функции (Теорема 6) имеем Заметим, что все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u её выражение, окончательно получим: Обычно все сказанное записывают в следующей укороченной форме: назад
-
Теорема 2.
Константу можно вынести за знак производной, то есть назад
-
Теорема 3.
Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем: назад
-
Теорема 4.
Производная произведения двух функций равна назад
-
Теорема 5.
Производная частного двух функций равна назад
-
Теорема 6.
Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда назад
-
В11Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= - 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Вывод 1 Исторический материал показывает, что метод дифференциального исчисления, который был создан в XVII и XVIII вв., является инструментом, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Поэтому каждому ученику, решившему продолжить обучение в старшем звене школы необходим набор знаний по данной теме.
-
Анкетирование учащихся 1.Запишите формулы нахождения производных Линейной функции; Степенной функции; Тригонометрической функции; Сложной функции; Логарифмической функции. 2. Запишите 3 правила нахождения производной функции. 3. Какие точки называются точками максимума и минимума? 4. Чему равна производная в критической точке? 5. Какой метод решения неравенств применяется при нахождении точек максимума и минимума? Решить индивидуальные задания.
-
В11Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= - 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Результаты анкетирования учащихся 11 классов (всего – 39 человек)
-
В11Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= - 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Вывод 2 Анкетирование учащихся показало , что около 30 процентов учащихся имеют пробелы в знаниях по данной теме, не все умеют применять правила в практической работе. Значит необходимо повторить теоретический материал и систематически решать задания с использованием производной.
-
Задания из сборников по подготовке к ЕГЭ
-
В8 На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . Решение: выбираем две точки на прямой: А(0;-1), В(4;-5). Так как уравнение прямой имеет вид у= кх + в, то подставляем координаты точек в данное уравнение и решаем систему , состоящую из двух уравнений 0к+в= -1; 4к+в= -5, из первого уравнения в= -1, подставляем во второе 4к-1=- 5, откуда к= -1. По геометрическому смыслу производнойf1(х) = k, Значит значение производной в точке равно -1. 2 способ. По формуле Лагранжа f1(x) = , подставляем координаты точек в формулу и получаем f1(x) = Ответ: f1(x) = -1
-
В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале [-7; 7]. Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение:по признаку возрастания функции если производная принимает положительные значения, то на данном промежутке функция возрастает, то есть график производной находится выше оси ОХ. В соответствующих промежутках х равно -5,-6, 0,1,2,3,4,5,6. Значит сумма целых точек входящих в эти промежутки равна 9, Ответ: 9
-
В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале [-6; 6] . Найдите точку экстремума функции на интервале [0; 4] . Решение: точка экстремума – это точка максимума или минимума и в ней производная равна нулю. На интервале [0;4] производная равна нулю при х = 2 Ответ: 2 В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=6. Решение: если касательная к графику данной функции параллельна прямой у = 6, то их угловые коэффициенты равны, т.е. к1=к2 =0, значит и производная в данных точках равна нулю (геометрический смысл производной).Из рисунка видим, что производная равна нулю в точках максимума и минимума и точке перегиба, т.е. в 5 точках. Ответ: 5
-
В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение. Решение: производная принимает отрицательное значение в промежутках убывания функции. По графику видим количество целых точек, в которых производная функции отрицательна равно 8 Ответ: 8 Решение: на отрезке [-4; -1] производная Положительная, значит функция возрастает. Значит она принимает наименьшее значение в левой точке отрезка, т. е. при х = -4. Ответ: -4
-
В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . Решение: точка экстремума – это точка максимума или минимума и в ней производная равна нулю.Из рисунка видно, что точек экстремума 6, это х= -4; -1; 0; 1; 4; 5. Сумма этих чисел равна 5. Ответ: 5 В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке . Решение: в точках максимума производная равна 0 и меняет знак с «+» на «-». Таких точек на рисунке 2, это х = 0, х = 3. Они Принадлежат заданному отрезку [-3;4] Ответ: 2
-
В8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции . Решение: точка экстремума – это точка максимума или минимума и в ней производная равна нулю.Из рисунка видно, что точек экстремума 6, это х= -4; -1; 0; 1; 4; 5. Сумма этих чисел равна 5. Ответ: 5 В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке . Решение: в точках максимума производная равна 0 и меняет знак с «+» на «-». Таких точек на рисунке 2, это х = 0, х = 3. Они Принадлежат заданному отрезку [-3;4] Ответ: 2
-
В8 На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции на отрезке . Решение: в точках экстремума, то есть точках максимума и минимума производная равна нулю. В данном задании производная равна нулю в трёх точках. Ответ: 3 В8 На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. Решение: если касательная к графику данной функции параллельна прямой у = -3х-11, то их угловые коэффициенты равны -3,значит производная по геометрическому смыслу производной также равна -3. По графику производной находим, что количество точек, удовлетворяющих этому условию равно 4. Ответ: 4
-
Задачи для самостоятельного решения В11.Найдите точку минимума функции . В11.Найдите точку максимума функции . В11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке . В11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
-
В11Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= - 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Вывод 3 В решениях заданий, встречаемых в сборниках по подготовке к ЕГЭ по математике применяются формулы и правила нахождения производной, геометрический и механический смысл производной, понятие критической точки, признаки возрастания и убывания функции методы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, точек максимума и минимума. Для успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимо прорешать большой объём заданий различного уровня сложности.
-
Заключение
Данная работа показывает: что тема «Производная и ее применение» актуальна и значима в настоящее время. Это следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке. Производную применяют не только в математике, но и в экономике, физике. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса.
-
В11Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= 49 + 240 = 289 х= - 4 , х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 Используемая литература: В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»; 2. В.А. Петров «Математический анализ в производственных задачках»; 3. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. «Математика»; 4. «Открытый банк задач ЕГЭ по математике»; «Летопись МИФИ».
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.