Презентация на тему "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы." 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходыучитель математики МБОУ СОШ № 143 Князькина Т. В.

• 
  Слайд 2
  

  Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе: log k(x) f (x) ∨ log k(x) g(x) ⇒ (f (x) − g(x)) · (k(x) − 1) ∨ 0 Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми. Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Не забывайте ОДЗ логарифма! Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.

• 
  Слайд 3
  

  Решите неравенство: Решение Для начала выпишем ОДЗ логарифма Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем: x2 + 1 ≠ 1;x2 ≠ 0;x ≠ 0. Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞0)∪(0;+∞). Теперь решаем основное неравенство: Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше».

• 
  Слайд 4
  

  Имеем: (10 − (x2 + 1)) · (x2 + 1 − 1)

• 
  Слайд 5
  

  Преобразование логарифмических неравенств Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами. А именно: Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием; Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом. Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство; Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов; Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

• 
  Слайд 6
  

  Решите неравенство: Решение Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма: Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: 3x − 2 = 0;x = 2/3. Затем — нули знаменателя: x − 1 = 0;x = 1. Отмечаем нули и знаки на координатной прямой:

• 
  Слайд 7
  

  Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка: Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их: log 2 (x − 1)2 

• 
  Слайд 8
  

  (f (x) − g(x)) · (k(x) − 1)

• 
  Слайд 9
  

  Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем:  x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) —все точки выколоты. Ответ: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

• 
  Слайд 10

  Решение заданий ЕГЭ-2014типа С3

• 
  Слайд 11
  

  Решите систему неравенств Решение. ОДЗ:  1) 2)

• 
  Слайд 12
  

  Решите систему неравенств 3) -7 -3 -5 х -1 + + + − − (продолжение)

• 
  Слайд 13
  

  Решите систему неравенств 4) Общее решение: и -7 -3 -5 х -1 -8 7 log2129 (продолжение)

• 
  Слайд 14
  

  Решите неравенство Решение. ОДЗ: 

• 
  Слайд 15
  

  Решите неравенство (продолжение) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4

• 
  Слайд 16
  

  Решите неравенство Решение. ОДЗ: 

• 
  Слайд 17
  

  Решите неравенство (продолжение)

• 
  Слайд 18
  

  Решите неравенство Решение. ОДЗ:  -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2