Презентация на тему "Решение задачи №14 ( стереометрия)" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение задачи №14 (ЕГЭ, профильный уровень)

  Шульцева Е.А. МБОУ СОШ №10 п.Раздольное

• 
  Слайд 2
  

  №1.В основании прямой призмыABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=8 и BD= 6.а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.

  Дано: а)ABCDA1B1C1D1– прямая призма, ABCD – ромб, AC=8 и BD= 6. б) АА1=12. а) Доказать: BD1 ⊥ AC; б) Найти ρ (BD1 ; AC). Решение: а) Прямые АС и BD1 скрещивающиеся. Проведем через точку О прямую ОN (ON ‖ BD1). Т.к. ABCD – ромб, то АС перпендикулярна BD, а значит АС перпендикулярна ОD, ОD является проекцией ОN на плоскость АВС. По теореме о трех перпендикулярах имеем АС⊥ON, значит BD1⊥AC. б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми BD1 и AC является отрезок ОМ. Треугольники BDD1и ВМО подобны по двум углам (∠D = ∠M = 90°, ∠В - общий), значит DD1: МО = BD1:ВО, МО = . В прямоугольном треугольнике BDD1 найду ВD1 по теореме Пифагора BD12= BD2 + DD12, BD1 = 6 Значит МО = , МО = . Ответ: б)

• 
  Слайд 3
  

  №1.В основании прямой призмыABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=8 и BD= 6. а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. ( Метод координат)

  а) Расположим призму ABCDA1B1C1D1 в прямоугольной системе координат и определим угол между прямыми BD1 и AC. Определим координаты точек А, В, С и D1. A(4; 0; 0), В(0; -3; 0), С(-4; 0; 0), D1(0; 3; ZD1 ). Вычислим координаты векторов и 1 : {-8; 0; 0} , 1{0; 6;ZD1}. Найдем скалярное произведение данных векторов ·1 = -8·0+0·6 + 0·ZD1 = 0. Т.к. скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Значит и прямые BD1 и AC перпендикулярны.

• 
  Слайд 4
  

  №1.В основании прямой призмыABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=8 и BD= 6. а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. ( Метод координат)

  б) По условию задачи D1(0; 3; 12). Найдем координаты вектора 1(x ;y ;z), который перпендикулярен как вектору 1, так и вектору . Значит, скалярные произведения 1·1 = 0 и ·1 = 0. Координаты вектора 1( 0; -2z; z). Заменим этот вектор ему коллинеарным вектором , разделив все координаты на z. Получим (0; -2; 1). Составим уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору (0; -2; 1) и проходящей через любую точку прямой BD1. Это уравнение имеет общий вид a(x-x0) + b(y -y0) +c(z -z0) = 0, где a, b , c- координаты вектора , х0 , у0, z0 – координаты точки, лежащей на прямой BD1. Пусть это будет точка В(0; -3; 0).

• 
  Слайд 5
  

  №1.В основании прямой призмыABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC=8 и BD= 6. а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12. ( Метод координат)

  Значит, 0· (x -0) - 2(y +3) + 1(z -0) =0 , -2у -6 +z =0, 2у – z +6 =0. Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми BD1 и АС вычислим как расстояние между любой точкой прямой АС и найденной плоскостью, применяя формулу ρ = . Выберем точку А(4; 0; 0), тогда А = 0, В =2, С = -1, D =0, х=4, у =0, z=0. ρ = = = . Ответ: б) .

• 
  Слайд 6
  

  №2. В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания АВС равны 12, а боковые ребра равны 25. На ребрах АВ, АС и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AF=AE=10, AK =15.а) Докажите, что объем пирамиды КАЕF составляет от объема пирамиды SABC.б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью (KEF).

  Дано: SABC –правильная пирамида, АВ = 12, SA=SB=SC=25, АF=AE=10, AK=15. а) Доказать: VKAEF = VSABC б) Найти: SKEF. Доказательство: а) Треугольники АСВ и АЕF подобны, т.к. ∠А –общий, и = = = . Коэффициент подобия треугольников равен k =. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициентаподобия, поэтому =( )2 = . Проведем высоту SO пирамиды и перпендикуляр KH на плоскость (АВС), точка Н лежит на прямой АН. Отрезок КН- высота пирамиды KAEF. Треугольники AKH и ASO подобны по двум углам (∠А –общий, ∠AHK =∠AOS=90°), тогда = = = . Имеем = = · = . Значит VKAEF = VSABC .

• 
  Слайд 7
  

  №2. В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания АВС равны 12, а боковые ребра равны 25. На ребрах АВ, АС и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AF=AE=10, AK =15.а) Докажите, что объем пирамиды КАЕF составляет от объема пирамиды SABC.б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью (KEF)

  б) Решение: Треугольники АКЕ и АКF равны, т.к АК -общая сторона, АЕ = АF по условию и ∠KAE=∠KAF, т.к. пирамида правильная. Значит, треугольник КЕF – равнобедренный и КЕ=КF. Отрезок КМ является его высотой и медианой . SKEF = EF·KM 2) Т.к. треугольники AEF и ACB подобны , то треугольник AEF равносторонний и EF = 10. 3) Найдем cos∠SAC из равнобедренного треугольника SAC (SA=SC). cos∠SAC = = . 4) Вычислим длину КЕ из треугольника АКЕ, применяя теорему косинусов : КЕ2 = АК2 + АЕ2 - 2 АК·КЕ·cos∠KAE . Получим: КЕ2 = 225 + 100 - 2·15·10· = 325 - 72 = 253, КЕ = . 5) Из прямоугольного треугольника КЕМ найдем длину КМ. По теореме Пифагора КЕ2 = ЕМ2 + КМ2. Значит, КМ2 = КЕ2 - ЕМ2, КМ2 =253 - 25=228, КМ = 2 . Получаем SKEF = EF·KM = ·10· 2 = 10 Ответ: б)10 .

• 
  Слайд 8

  Презентация завершена

  Спасибо за внимание! Желаю успехов в работе!