Презентация на тему "Задание с2"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Задание с2

  Подготовил: Кондратьев Даниил ЕГЭ по математике Начать

• 
  Слайд 2

  Суть Задания

  Задания группы С2 связаны с нахождением: Угла между прямыми Угла между прямой и плоскостью Угла между двумя плоскостями Расстояния от точки до прямой Расстояния от точки до плоскости Расстояния между двумя прямыми

• 
  Слайд 3

  Задание 1.1

  В единичном кубе A...D1 найдите угол между прямыми АВ1и ВС1. Первое решение. Прямая AD1 параллельна прямой ВС1и, следовательно, угол между прямыми AB1и ВС1равен углу B1AD1. Треугольник B1AD1 равносторонний и, значит, угол B1AD1 равен 60°. Второе решение. Введем систему координат, считая началом координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, АА1. Вектор имеет координаты (1, 0,1). Вектор имеет координаты (0,1,1). Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла  между Векторамии. Получим и, значит, угол  равен 60°. Следовательно, искомый угол между прямыми АВ1 и ВС1равен 60°. Ответ:60°

• 
  Слайд 4

  Задание 1.2

  В единичном кубе A...D1 найдите угол между прямыми DA1и ВD1. Первое решение. Рассмотрим ортогональную проекцию AD1прямой BD1на плоскость ADD1. Прямые AD1и DA1перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DA1 и BD1 также перпендикулярны, т. е. искомый угол между прямыми DA1 и BD1 равен 90°. Второе решение. Введем систему координат, считая началом координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, АА1. Вектор имеет координаты (0, -1,1). Вектор имеет координаты (-1,1,1). Скалярное произведение этих векторов равно нулю и, значит, искомый угол между прямыми DA1 и BD1, равен 90°. Ответ: 90°

• 
  Слайд 5

  Задание 1.3

  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра кото- рой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD1и СЕ1, где D1и Е1— соответственно середины ребер А1С1и В1С1. Первое решение. Обозначим D и F1соответственно середины ребер АС и А1В1.Прямые DC1 и DF1 будут соответственно параллельны AD1 и CE1. Следовательно, угол между прямыми AD1 и CE1 будет равен углу C1DF1. Треугольник C1DF1 равнобедренный, , . Используя теорему косинусов, получаем

• 
  Слайд 6
  

  Второе решение. Введем систему координат, считая началом координат точку А, как показано на рисунке. Точка С имеет координаты , точка D1 имеет координаты , точка E1 имеет координаты Вектор имеет координаты . Вектор координаты Косинус угла между прямыми AD1 и СE1 равен косинусу угла между векторами и . Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла  между векторами. Получим =0,7 Ответ: 0,7

• 
  Слайд 7

  Задание 2.1

  В правильной шестиугольной призме А.. .F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ВСС1. Решение. Пусть О — центр нижнего основания призмы. Прямая ВО параллельна AF. Так как плоскости ABC и ВСС1перпендикулярны, то искомым углом будет угол ОВС. Так как треугольник ОВС равносторонний, то этот угол будет равен 60°. Ответ: 60°

• 
  Слайд 8

  Задание 2.2

  В правильной шестиугольной призме А.. .F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой СС1и плоскостью BDE1. Решение. Так как прямые ВВ1и СС1параллельны, то искомый угол будет равен углу между прямой ВВ1 и плоскостью BDE1. Прямая BD, через которую проходит плоскость BDE1, перпендикулярна плоскости АВВ1и, значит, плоскость BDE1 перпендикулярна плоскости АВВ1. Следовательно, искомый угол будет равен углу А1ВВ1; т. е. равен 45°. Ответ: 45°

• 
  Слайд 9
  

  Задание 2.3 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где Е — середина ребра SC. Решение. Через вершину S проведем прямую, параллельную прямой АВ, и отложим на ней отрезок SF, равный отрезку АВ. В тетраэдре SBCF все ребра равны 1 и плоскость BCF параллельна плоскости SAD. Перпендикуляр ЕH, опущенный из точки Е на плоскость BCF, равен половине высоты тетраэдра, т. e равен .Угол между прямойBE и плоскостью SAD равен углу ЕВН, синус которого равен . Ответ:

• 
  Слайд 10
  

  Задание 3.1 В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF1и DEE1. Первое решение. Так как плоскость FCC1 параллельна плоскости DEE1, то искомый угол равен углу между плоскостями AFF1и FCC1. Так как плоскости AFF1и FCQ перпендикулярны плоскости ABC, то соответствующим линейным углом будет угол AFC, который равен 60°. Второе решение. Так как плоскость AFF1параллельна плоскости BEE1, то искомый угол равен углу между плоскостями ВЕЕ1и DEE1. Так как плоскости ВЕЕ1 и DEE1перпендикулярны плоскости ABC, то соответствующим линейным углом будет угол BED, который равен 60° Ответ: 60°

• 
  Слайд 11
  

  Задание 3.2 В единичном кубе A...D1найдите тангенс угла между плоскостями ADD1и BDC1. Решение. Так как плоскость ADD1 параллельна плоскости ВСС1то искомый угол равен углу между плоскостями ВСС1и BDC1. Пусть Е — середина отрезка ВС1. Тогда прямые СЕ и DE будут перпендикулярны прямой ВС1и, следовательно, угол CED будет линейным углом между плоскостями ВСС1 и BDС1. Треугольник CED прямоугольный, катет CD равен 1, катет СЕ равен . Следовательно, . Ответ:

• 
  Слайд 12
  

  Задание 3.3 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1D1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВ1и BA1C1. Решение: Пусть DE—линия пересечения данных плоскостей, F — середина отрезка DE, G — середина отрезка А1С1. Угол GFB1 является линейным углом между данными плоскостями. В треугольнике GFB1 имеем: По теореме косинусов находим Ответ:

• 
  Слайд 13
  

  Задание 4.1 В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой D1F1. Решение. Так как прямая D1F1перпендикулярна плоскости AFF1, то отрезок AF1будет искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую D1F1. Его длина равна Ответ:

• 
  Слайд 14
  

  Задание 4.2 В единичном кубе A…D1найдите расстояние от точки А до прямой BD1. Первое решение. Искомым перпендикуляром является высота АНпрямоугольного треугольника ABD1, в котором Для площади S этого треугольника имеют место равенства Откуда находим

• 
  Слайд 15
  

  Второе решение. Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1, в котором   Треугольники BAD1и ВНА подобны по трем углам. Следовательно, Откуда находим Третье решение. Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1; в котором Откуда и, следовательно, Ответ:

• 
  Слайд 16
  

  Задание 4.3 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до прямой BG, где G — середина ребра SC. Решение: Искомое расстояние от точки F до прямой BG равно высоте FH треугольника FBG, в котором По теореме Пифагора находим Ответ:

• 
  Слайд 17
  

  Задание 5.1 В единичном кубе А...D1найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1. Первое решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОА1. Следовательно, плоскости BDA1и АОА1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA1, является высота АН прямоугольного треугольника АОА1, в котором Для площади S этого треугольника имеют место равенства Откуда находим

• 
  Слайд 18
  

  Второе решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA1. Следовательно, плоскости BDA1 и АОА1перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA1является высота АН прямоугольного треугольника АОА1в котором Треугольники АОА1и НОА подобны по трем углам. Следовательно,АА1 :OA1= АН: АО. Откуда находим Третье решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОА1. Следовательно, плоскости BDA1 и АОА1перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA1, является высота АН прямоугольного треугольника АОА1в котором Откудаи, следовательно, Ответ:

• 
  Слайд 19
  

  Задание 5.2 Первое решение. Пусть О — центр основания пирамиды. Пря-мая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая 0G перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике Для площади S этого треугольника имеют место равенства Откуда находим В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.

• 
  Слайд 20
  

  Второе решение. Пусть О — центр основания пирамиды. Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая OG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике Треугольники SOG и OHG подобны по трем углам. Следовательно , SO : SG = ОН : OG. Откуда находим Ответ:

• 
  Слайд 21
  

  Задание 5.3 В правильной шестиугольной призме А…F1; все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFE1. Первое решение. Пусть О и О1— центры оснований призмы. Прямая АО1параллельна плоскости BFE1и, следовательно, расстояние от точки А до плоскости BFE1 равно расстоянию от прямой АО1до плоскости BFE1. Плоскость AOO1перпендикулярна плоскости BFE1и, следовательно, расстояние от прямой А01 до плоскости BFE1 равно расстоянию от прямой AO1до линии пересечения GG1плоскостей АОО1и BFE1.Треугольник А001 прямоугольный, АО = ОО1= 1, GG1— его средняя линия. Следовательно, расстояние между прямыми АО1и GG1равно половине высоты ОН треугольника АОО1 т. е.равно

• 
  Слайд 22
  

  Второе решение. Пусть G—точка пересечения прямых AD и BF. Угол между прямой AD и плоскостью BFE1 равен углу между прямыми ВС и BC1и равен 45°. Перпендикуляр АН, опущенный из точки А наплоскость BFE1, равен AG • sin 45°. Так как AG = 0,5, то Ответ:

• 
  Слайд 23
  

  Задание 6.1 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС. Решение. Прямая ВС параллельна плоскости SAD, в которой лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SAD. Пусть Е и F соответственно середины ребер AD и ВС. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем: высота SO равнаДля площади S треугольника SEF имеют место равенства из которых получаем Ответ:

• 
  Слайд 24
  

  Задание 6.2 В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми АВ1и ВС1 . Решение. Плоскости AB1D1 и BDC1, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями. Диагональ СА1куба перпендикулярна этим плоскостям. Обозначим Е и F точки пересечения диагонали СА1соответственно с плоскостями AB1D1и BDC1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми АВ1и ВС1. Пусть О и О1соответственно центры граней AHCD и A1B1C1D1 куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя линиятреугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что О1Е — средняя линия треугольника А1C1F1и, значит, A1E = EF. Таким образом, EF оставляет одну треть диагонали СА1 т.е. Ответ:

• 
  Слайд 25
  

  В правильной шестиугольной призме А.. .F1все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и CF1. Задание 6.3 Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми АA1и CF1равно расстоянию между параллельными плоскостями АВВ1иСFF1в которых лежат эти прямые. Оно равно Ответ:

• 
  Слайд 26
  

  The End