Презентация на тему "Расстояние в пространстве" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Расстояния в пространстве

• 
  Слайд 2

  Расстояние между двумя точками

  А В

• 
  Слайд 3
  

  Задача 1. Найдите расстояние между точками Р и Н – серединами скрещивающихся рёбер: а) куба с ребром, равным а; Решение. а) (рис. 1) РК АD, АK=KD ∆РКН K=90, РK = а Ответ:

• 
  Слайд 4
  

  Задача 1. Найдите расстояние между точками Р и Н – серединами скрещивающихся рёбер:б) тетраэдра, все рёбра которого равны а.

  Ответ:

• 
  Слайд 5
  

  Задача 1. Найдите расстояние между точками Р и Н – серединами скрещивающихся рёбер:в) правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и правильным треугольником в диагональном сечении.

  1) ∆SDB – правильный, Ответ: а

• 
  Слайд 6
  

  Задача №2.На рёбрах А1В1 и В1С1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 соответственно точками М и L отмечены середины, на ребре AB взята точка K такая, что AK : AB = 3 : 4. Считая AB = AA1 = 1, AD = 2, найдите расстояние от точки P – точки пересечения диагонали B1D с плоскостью KLM до точки: a) D; b) D1; c) B. (Рис.4) Построение сечения: ML, 2) MK, 3) KN||ML, N= KN∩BC 4) NL, 5) LMKN – сечение Нахождение точки P, где P= B1D∩(KLM) B1D (DBB1) (DBB1)∩(KLM) = EF, E = B1D1∩ML, F = KN∩DB, B1D∩(KLM) = B1D∩EF = P

• 
  Слайд 7
  

  Нахождение расстояний D1E : EB1 = 3 : 1, DF : FB = 7 : 1, DP-? (по 2м углам), DP : PB1 = DF : EB1 = 7 : 2,

• 
  Слайд 8
  

  б) D1P - ? в) BP - ? Проведем через точку P прямую TW || DB, TDD1, WBB1. Ответ:

• 
  Слайд 9

  Координатный метод

  А(х1; у1; z1) В(х2; у2; z2)

• 
  Слайд 10
  

  Задача 3.(МФТИ) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1, точки Е, F и К – середины рёбер АА1, ВС и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В1D1 так, что В1М = 2МD1. Найти расстояние между точками: а) Е и К; б) Е и М; в) М1 и К1, где М1 – середина отрезка КМ, К1 – середина ребра С1D1; г) F и Р, где Р – середина отрезка А1К. Е Ответ: z x y A A1 D C B D1 C1 B1 M K1 K E P M1 F

• 
  Слайд 11

  Расстояние между фигурами

  Если среди всех расстояний между точками, одна из которых принадлежит фигуре F1, а другая - фигуре F2, существует наименьшее, то его называют расстоянием между фигурами F1и F2.

• 
  Слайд 12

  Расстояние от точки до прямой

  Расстояние от точки до прямой – длина отрезка перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. a A B C

• 
  Слайд 13
  

  Задача №4. (рис.7) В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, боковое ребро призмы равно меньшей стороне основания. В грани AA1C1C точкой O отмечен центроид этой грани. Считая AC = a, найдите расстояние до прямой BO от точки: a) A1; b) B1; c) C1. AC = BC = AA1 = а, ACB=90, AA1C1C, C1CBB1 – квадраты 2) (рис.8) тогда BO – медиана и высота, O A A1 C B B1 C1 a A B C1 O Рис.7 Рис.8

• 
  Слайд 14
  

  3)(рис.9) A1 C B O N Рис.9 O A A1 C B B1 C1 a Рис.7

• 
  Слайд 15
  

  4) (рис.10) Рис.10 M M1 B1 B O C B A M Рис.11

• 
  Слайд 16

  Расстояние от точки до плоскости

  Расстояние от точки до плоскости – длина отрезка перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. . C A B pис.12

• 
  Слайд 17
  

  рис. 13 Пусть надо найти расстояние от точки А до плоскости β и пусть точка А лежит в плоскости α, α∩β= с. Проведём АВс, ВPc, (α,β) = PBC, ANPB.

• 
  Слайд 18
  

  Задача № 5 (рис.14 )На рёбрах АВ и АD куба ABCDA1B1C1D1 соответственно точками P и Q отмечены середины. Считая ребро куба равным а, найдите расстояние до плоскости С1PQ от точки: а) С; б) А1; в) D. а) С(АВС), A1 A D1 D C1 C B B1 Q P E N a

• 
  Слайд 19
  

  б) (рис.15) А1(А1В1С1), (А1В1С1)∩(С1PQ)=b, b//QP, C1E∩AA1=A2, AA2:A1A2=AE:A1C1=1:4, ,A1A2= рис. 15 A1MA2C1  A1M=ρ/A1,( С1PQ)/ A1 A D1 D C1 C B B1 Q E a M A2 b P

• 
  Слайд 20
  

  в) (рис.16) D(ABC), (ABC)∩(C1PQ)=PQ, PQ∩DC=T, TD : DC= 1 : 2, TC1∩DD1=D2, DD2 : DD1 = 1 : 3, DD2= a/3. DF RD2 , DF = ρD,(C1PQ) Ответ: A1 A D1 D C1 C B B1 Q E a R D2 T F Рис.16 P

• 
  Слайд 21
  

  Задача №6. (рис. 17). В основании пирамиды МАВСD лежит прямоугольник, её боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и АВ : АD : МВ = = 1 : 2 : 1. Считая АВ = а, найдите расстояние до плоскости МСD от точки Р, где точка Р лежит на диагонали ВD и отношение ВР : ВD равно: а) 1 : 4; б) 1 : 2; в) 3 : 4. АВ = МВ = а, АD = 2а. Р=|Р,(МСD)|. а) ВР : ВD = 1 : 4. a M A B D C K P N a 2a Рис.17 E

• 
  Слайд 22
  

  б) ВР : ВD = 1 : 2 в) ВР : ВD = 3 : 4 Ответ:

• 
  Слайд 23

  Координатный метод

  М0(х0, у0, z0), ах + bу + сz + d =0, β

• 
  Слайд 24
  

  Задача №7. (МИФИ).Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 12. На рёбрах АА1, В1С1, СD взяты точки Е, F1 и G такие, что АЕ : ЕА1 = 1 : 3, В1F1 : F1С1 = 1 : 1, СG : GD = 1 : 1. Найти расстояние от точки В1 до плоскости (ЕF1G). Е(12;0;3), G(6;12;0), F1(0;6;12) (ЕF1G): ах + bу + сz + d =0 В1(0;0;12) x y z A B C D A1 B1 C1 D1 E F1 G Рис.18

• 
  Слайд 25

  Расстояние между двумя прямыми

  M N a b a b

• 
  Слайд 26

  Скрещивающиеся прямые

  Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – длина их общего перпендикуляра. А В N P M a b b 1 х у Заметим, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими данные прямые.

• 
  Слайд 27
  

  Задача № 7. (рис.19) Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте общий перпендикуляр прямых A1D и ВС1. Найдите расстояние между прямыми, если ребро куба равно а. рис. 19 MN = |A1D,BC1|, MN = a. AD1 ∩ DA1 = M, BC1 ∩ CB1 = N, MNAD1, MNBC1, A A1 B B1 C C1 D1 D M N

• 
  Слайд 28
  

  Задача № 8. (рис.20)(Новосибирский государственный университет). Найдите расстояние между диагоналями AD1 и DC1двух смежных граней куба ABCDA1B1C1D1с ребром а. А(0;0;0), D(0;а;0), D1(0;а;а), С1(а;а;а). MNAD1, MNDC1. A A1 D1 D B B1 C1 C M N x y z Рис.20 a

• 
  Слайд 29
  

  Ответ:

• 
  Слайд 30

  Ещё один подход к вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми.

  a q, c – прqb, A – прqa, ABc, AB = a,b A B q a c b

• 
  Слайд 31
  

  Задача № 9(рис.21) МГТУ им. Н.Э. Баумана. В сферу радиуса R вписана пирамида ТАВС, основанием которой служит прямоугольный треугольник АВС, а высота пирамиды совпадает с ребром ТА. Боковое ребро ТВ образует с высотой пирамиды угол 60. А угол между ТВ и медианой основания СD, проведённой к гипотенузе АВ, равен 45. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану СD и пересекающей ребро ТВ? (ОDК),BK  (ОDК), , СD  (ODK) A C B K O R R T D E F 60 45

• 
  Слайд 32
  

  Ответ: A C B K O R R T D E F

• 
  Слайд 33

  Расстояние от прямой до плоскости

  За расстояние от прямой до параллельной ей плоскости берут расстояние от любой (наиболее удобной для решения задачи) точки прямой до плоскости, рис. 22 A1 A M N B1 M1 B a

• 
  Слайд 34
  

  Задача № 10. (МГТУ им. Н.Э. Баумана).Основанием пирамиды ТАВС служит равносторонний треугольник со стороной, равной 8, а её высота проходит через середину стороны основания АВ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро ТА, если известно, что прямая, проходящая через середину высоты пирамиды и середину стороны основания ВС, параллельна секущей плоскости и находится от неё на расстоянии, равном 1. рис. 23 ТХ || КN, Х=ТХ∩DN. АХ∩СВ=Р, ΔАРТ – искомое сечение. ТFD=((АТР),(АВС)), КЕТF, , KE = К,(АТР)= КN,(ТАР)=1. DRТF, DR=2. X A C B T K E R D F P N

• 
  Слайд 35
  

  рис. 24 BР : РC = 2 : 1, ΔАРС, АС = 8, РС=8/3, С=60, по теореме косинусов рис. 25 ΔFDТ: Ответ: A B C D X N F F1 F D T R P 60 2

• 
  Слайд 36

  Расстояние между параллельными плоскостями

  Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости A B M D C

• 
  Слайд 37
  

  рис. 27 Задача № 11.В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между плоскостями АВ1D1 и ВDС1, если АВ = а. (рис.27) (АВ1D1 ) (ВDС1). А1С  D1В1 и А1С  АD1, D1В1 ∩ АD1=D1, , А1С  (АВ1D1), , А1С  (ВDС1) Докажем, что А1СD1В1 (остальное доказывается аналогично) А1С∩(АВ1D1) = М, А1С∩(ВDС1) = N, МN = (АВ1D1),(ВDС1), По теореме Фалеса А1М = МN = NС Ответ: (АВ1D1),(ВDС1)= A B C C1 D1 P A1 D N M

• 
  Слайд 38
  

  Если через прямую, параллельную плоскости, провести плоскость, параллельную данной плоскости, то можно находить расстояние между прямой и плоскостью как расстояние между параллельными плоскостями. а N а  , построим плоскость β , а β. а,= ,β  М

• 
  Слайд 39
  

  рис. 30 рис. 29 (СРА1) (МNС1), А1С  (СРА1), , А1С, (МNС1) = (СРА1),(МNС1) = K,(СРА1)  C N M B D B1 D1 E K C1 A1 A P T A2 M1 O O1 F1 F B C A B1 C1 A1 N M Задача № 12. (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004 год).Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 плоскостью, которая параллельна диагонали А1С боковой грани АА1С1С, проходит через середину стороны ВС основания АВС и точку М, лежащую на стороне АВ, если АМ = 2МВ, расстояние между А1С и секущей плоскостью равно 2, а высота призмы равна 2 ? (рис.29)

• 
  Слайд 40
  

  рис. 31 2)Пусть АВ = 6х, тогда МВ = 2х, ВN = 3х. ΔМВN: (рис.30) МN2 = 4х2 + 9х2 – 2  2х  3х cos60 MN2 = 13x2 – 6x2 = 7x2, MN = x PC = 2x . 3) ΔM1B1N1: (рис.32) рис. 32 A B C N P M 6x 3x 2x B1 A1 O1 T C1 N1 O2 O M1 K

• 
  Слайд 41
  

  4) ΔРКО1 (рис.33): 5) Sсеч= Ответ: Sсеч=21 рис. 33 P K O1 F1 2