Презентация на тему "Расстояние между скрещивающимися прямыми"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Семинар-практикум

  Расстояние между скрещивающимися прямыми Зубарева Т.В., учитель математики Темниковской СОШ №1 pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Цели:

  Систематизация и обобщение приемов работы с пространственными объектами: прямыми , плоскостями и телами Знакомство с новым понятием: расстояние между скрещивающимися прямыми Усвоение и отработка общих приемов определения расстояний между скрещивающимися прямыми

• 
  Слайд 3

  Задачи:

  Устная работа по актуализация необходимых известных приемов работы с пространственными объектами: прямыми и плоскостями Определение нового понятия: расстояние между скрещивающимися прямыми Решение типовых задач на определение расстояний между скрещивающимися прямыми Решение проблемной задачи на обобщение приема нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

• 
  Слайд 4

  Средства:

  Модели пространственных фигур, чертежи к задачам Теорема Фалеса и теорема о трех перпендикулярах Приемы стерео и планиметрических построений Типовые и проблемные задачи Компьютер с мультимедийным проектором

• 
  Слайд 5

  План:

  Первый урок: Актуализация: выполнение устных заданий, доказательство теоремы, решение задачи Определение и усвоение нового понятия Второй урок . Решение типовых задач на усвоение и отработку нового понятия Третий урок. Проблемная задача на обобщение приема нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми

• 
  Слайд 6

  Первый урок

  Подготовительные устные задачи A B C D A1 B1 C1 D1 M K L N Параллельны ли прямая B1K и плоскость DD1C1C? Параллельны ли прямые C1D и B1K? Параллельны ли прямая AC и плоскость A1B1C1D1? Параллельны ли прямая AL и плоскость A1B1C1D1?

• 
  Слайд 7
  

  Подготовительные устные задачи A B C D A1 B1 C1 D1 M K L N Установите все пары: прямая и параллельная ей плоскость

• 
  Слайд 8
  

  Подготовительные устные задачи A B C D A1 B1 C1 D1 M K L N Как определяется расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью? Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью AA1D1D Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью DD1C1C Найдите расстояние между прямой B1K и плоскостью DD1C1C

• 
  Слайд 9
  

  Постановка проблемы A B C D A1 B1 C1 D1 K L Как можно определить расстояние между скрещивающимися прямыми ? K1 L1 Найдите расстояние между прямыми: A1B и C1D, A1B и DK , A1B и DL.

• 
  Слайд 10
  

  Какие следствия можно сформулировать? A B C D A1 B1 C1 D1 K L Отрезок с концами на двух скрещивающихся прямых одновременно перпендикулярный им и есть расстояние между этими прямыми K1 L1 Этот отрезок равен расстоянию от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости в которой лежит другая прямая

• 
  Слайд 11
  

  Теорема A B C D A1 B1 C1 D1 O Диагональ куба перпендикулярна каждой диагонали грани куба, скрещивающейся с ней Доказательство: ACBB1D1D, отсюда AC  любой прямой плоскости BB1D1D

• 
  Слайд 12
  

  Следствие теоремы. Задача. A B C D A1 B1 C1 D1 O M Рассмотрим треугольники BB1D и OMD. Из их подобия следует OM/BB1=OD/B1D OM=BB1OD/B1D=a/√6 Найдите расстояние между скрещивающимися диагональю куба и диагональю его грани. Решение. Треугольник BB1D перпендикулярен AC. Отрезок OM B1D, будет перпендикулярен и AC . OM - расстояние между AC и B1D.

• 
  Слайд 13

  Второй урок

  Обобщение.Три типовых случая определения расстояния между скрещивающимися прямыми Общий перпендикуляр к обеим прямым (единственный!) Перпендикуляр от одной из прямых до параллельной плоскости, в которой расположена другая прямая, конец которого не обязательно лежит на прямой! Перпендикуляр между параллельными плоскостями в которых лежат скрещивающиеся прямые, концы которого не обязательно лежат на прямых!

• 
  Слайд 14
  

  Проблема: Как найти плоскость с одной прямой, параллельную другой скрещивающейся прямой ? Достаточно провести через одну из скрещивающихся прямых прямую линию, параллельную другой скрещивающейся Заметим, что отрезок соединяющий точки пересечения пар параллельных прямых не равен расстоянию между скрещивающимися прямыми!

• 
  Слайд 15
  

  Типовые задачи Чаще других возникают задачи с перпендикулярными скрещивающимися прямыми. К этому типу относится уже рассмотренная задача о расстоянии между диагональю куба и скрещивающейся диагональю его грани. Стандартный прием решения этих задач заключается в проведении плоскости, в которой лежит одна прямая, перпендикулярно другой скрещивающейся прямой

• 
  Слайд 16
  

  Решение задач Дан куб ABCDA1B1C1D1с длиной ребра AB=a. Найдите расстояние между прямыми AD и D1 M, где M – середина ребра DC Плоскость грани DD1C1C перпендикулярна ребру AD. Из точки D опустим перпендикуляр DK на D1M. Треугольники DD1M и DKM подобны с коэффициентом подобия 1/2. DK=D1M/2=a√5/2 A B C D A1 B1 C1 D1 M K

• 
  Слайд 17
  

  Решение задач Дан куб ABCDA1B1C1D1с длиной ребра AB=a. Найдите расстояние между прямыми BD и O1 M, где M – середина AO, O и O1 – центры граней ABCD и A1B1C1D1, соответственно Диагональная плоскость AA1C1C перпендикулярна прямой BD. Из точки O опустим перпендикуляр OK на O1M. Треугольники OO1M и OKM подобны. OK=OO1OM/O1M =a/3 (по теореме Пифагора O1M=3/2√2, OM=1/2√2) A B C D A1 B1 C1 D1 O1 K M O

• 
  Слайд 18
  

  Прием параллельных плоскостей Дан куб ABCDA1B1C1D1с длиной ребра AB=a. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями AC и A1 B смежных граней ABCD и AA1B1B Проведем диагональ D1C||A1B, получим треугольник AD1C||A1B, проведем диагональ A1C1||AC, получим треугольник A1BC1||AC A B C D A1 B1 C1 D1 O1 K M O M N Плоскости треугольников AD1C и A1BC1 параллельны и перпендикулярны плоскости BB1D1D

• 
  Слайд 19
  

  Прием параллельных плоскостей A B C D A1 B1 C1 D1 O1 K M O M N Рассмотрим сечение куба плоскостью BB1D1D.Искомое расстояние MN по теореме Фалеса равно 1/3 диагонали B1D: MN=a/√3 M N B B1 D1 D O1 O Замечание. Перпендикулярность B1D к B1O и OD1следует из доказанной теоремы на первом уроке.

• 
  Слайд 20

  Третий урок

  Обобщение приемов определения расстояний между скрещивающимися прямым Проблема. Даже в случае, если определены параллельные плоскости, в которых лежат прямые, часто трудно найти расстояние между ними –необходимо еще провести третью перпендикулярную плоскость Для решения проблемы достаточно провести эту плоскость перпендикулярно к одной из прямых!

• 
  Слайд 21
  

  Задача на обобщение приема Проведем через точку A прямую параллельную BM.Из точки B опустим на неё перпендикуляр BK. A B C M D K N По теореме о трех перпендикулярах DK  AK и треугольник DBK  треугольнику ADK , в которой лежит прямая AD. Прямая BM находится на расстоянии BN от плоскости ADK, равном длине перпендикуляра BN к DK!

• 
  Слайд 22
  

  Задача на обобщение приема A B C M D K N Вычислим длину отрезка BN через площадь DBK и длину DK. SDBK =a2/4, DK=√5∙a/2, BN=2 SDBK /DK BN=a/√5

• 
  Слайд 23
  

  Рефлексия. Осмысление обобщенного приема Рассмотренный способ последней задачи носит обобщенный характер. Если не проходят более элементарные приемы, то последний способ часто оказывается решающим. A B M D Идея этого приема связана с двумя дополнительными объектами: а) плоскостью, в которой лежит одна из прямых. б) перпендикуляром к ней, через который проходит вторая прямая. Запомните последнюю картинку!

• 
  Слайд 24
  

  Ориентировочная основа обобщенного приема Первый этап: через точку A прямой проводим прямую параллельно BM A B M D Второй этап: из точки B опустим перпендикуляр до пересечения с прямой AE E K Третий этап: в прямоугольном треугольнике DBK опустим перпендикуляр BN на DK. Его длина и будет равна расстоянию между прямыми AD и BM N

• 
  Слайд 25
  

  Как найти точки на скрещивающихся прямых AD и BM, ближайшие друг к другу? Через точку N проводим прямую параллельно BM до пересечения с прямой AD в точке L (в плоскости треугольника ADK). A B M D E K Прямоугольный треугольник DBK переносим параллельно вдоль прямойна отрезок NL. Новые положения точек B и N будут ближайшими друг к другу точками прямых AD и BM N L

• 
  Слайд 26
  

  Задача на закрепление обобщеннного способа В кубе с длиной ребра a=5 на ребрах AD и D1C взяты точки K и M, соответственно. Найдите расстояние между прямыми A1K и D1M, если AK=4 и DM=3. A B C D A1 B1 C1 D1 M K E H N Решение. Через точку E пересечения A1K c D1D проведем прямую ||D1M. Из точки D1 на неё опустим перпендикуляр до пересечения в точке F. Высота D1N треугольника A1D1F и дает искомое расстояние. F

• 
  Слайд 27
  

  Решение задачи на закрепление A B C D A1 B1 C1 D1 M K E H N Вычисления. D1H=DMD1E/D1D=35/4=15/4. EH2=A1D12+D1F2=2527/4. EH=45√3/2. SHD1E=225/8. F D1F=2SHD1E/EH=5/√3. A1F2=AD12+D1F2=25+25/3. A1F=10/√3. SA1D1F=25/(2√3). D1N=2SH1D1F/A1F=25/10=5/2. Оценка ответа на смысл. D1N=2,5