Презентация на тему "Целые уравнения и способы их решения" 4 класс

Белянчева Ольга Викторовна, учитель математики

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа имени Е.Р.Дашковой с углубленным изучением отдельных предметов» г. Кременки Жуковского района Калужской области

Двухурочные циклы гораздо эффективнее одноурочных. Они состоят из урока изложения нового материала, домашней работы и урока самостоятельной работы. Все содержание учебного цикла распределяется между ними так:

Первый урок. Актуализация знаний, необходимых для усвоения нового материала; сообщение нового материала; репродуктивное (первоначальное) закрепление

Домашняя работа: тренировочное закрепление.

Второй урок. Итоговое закрепление; контроль знаний.

Такие двухурочные иногда трёхурочные циклы применяю я при углублённом изучении алгебры в 9 классе.

Алгебра, 9 класс.

Урок № 1 из двухурочного цикла «Целые уравнения и способы их решения»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Тема: Целые уравнения и способы их решения.

Цели:

организовать работу по изучению способов решения целых уравнения: разложение на множители по т. Безу, разложение на множители способом группировки; разложение на множители по схеме Горнера.

способствовать развитию умений и навыков в преобразовании выражений, в решении уравнений различными способами;

развивать математическую культуру в чтении и оформлении записи решения уравнения;

развивать интерес к решению уравнений различными способами;

воспитывать чувство товарищества, деликатности и дисциплинированности

Оборудование: проектор, презентация, карточки со схемой Горнера, заготовки для рефлексии.

Ход урока.

1. Организационный этап.

Сообщить тему (слайд 1) и сформулировать цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

Слайд 2 Теоретический опрос.

Что такое уравнение?

Что такое корень уравнения?

Что значит решить уравнение?

Какие виды уравнений вы знаете?

Когда в уравнении появляются посторонние корни?

Работа у доски - два ученика.

На местах по вариантам.

Слайд 3 Решить уравнения:

I вариант II вариант

(3-2х)(6х-1)=(2х-3)2 (5+4х)2=(9-21х)(4х+5)

х=0,5 и х=1,5 х=-1,25 и х=0,16

Равносильны ли уравнения?

Почему?

Какие преобразования пришлось выполнить при решении уравнений?

3. Изучение нового материала.

Уравнения полученные в результате преобразований решённых вами уравнений, имеющие вид Р(x) = 0, где Р(x) ̶ многочлен стандартного вида, называют целыми алгебраическими уравнениями.

Рассмотрим уравнение (х2-3х+2)(х-6)=0.

Известно, что произведение двух чисел равняется нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнение

х2-3х+2=0 и х-6=0 , а затем объединить их решения. Решением первого уравнения является х=1 и х=2, решением второго уравнения х=6. Решением данного уравнения является объединение этих решений х=1, х=2, х=6.

В случае, когда ищут значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из данных уравнений, говорят, что задана совокупность уравнений (для обозначения совокупности уравнения иногда используют квадратные скобку.

Слайд 4

ТЕОРЕМА 1. Уравнение f(х)h(х)=0, определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f(х) =0 и h(х)=0.

Разбор примера. 2х3-3х2-8х+12=0.

Комментирование решения цепочкой на местах.

Ответ: х=1,5, х=2, х=-2.

Обратим внимание, что найденные целые корни 2 и -2 являются делителями свободного члена уравнения. В общем случае оказывается справедливым следующее утверждение:

Слайд 5

ТЕОРЕМА 2. Если уравнение a0 xn + a1 xn-1 + … +an-1 x + an = 0 целые коэффициенты, причём свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Результат этой теоремы может быть применён при решении уравнений.

Задание.

Найти целые корни уравнения 2x4 + x3- 9x2- 4x - 4 = 0

Ответ: 2 и -2.

Слайд 6

ТЕОРЕМА 3 (теорема Безу).

Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен x ̶ a, необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена.

Делить многочлен на двучлен можно уголком, а так же

для вычисления коэффициентов частного и остатка от деления многочлена на линейный двучлен x-s очень удобно использовать схему Горнера (иногда называют метод Горнера).

Слайд 7. Схема Горнера.

Заполняется таблица:

Полученные числа являются коэффициентами частного от деления многочлена на двучлен, а - остатком. То есть,

Пример.

Убедиться, что многочлен 2x3 – 11x2 + 12x + 9 делится на двучлен без остатка и найти частное.

Решение.

Проверим это с использованием схемы Горнера:

Получили остаток равный нулю, что говорит о делимости исходного многочлена без остатка на двучлен. Частным является многочлен .

Когда , то можно говорить о делимости многочлена на двучлен x-s, другими словами, s – корень исходного многочлена. По следствию из теоремы Безу, такой многочлен представляется в виде произведения:

Поэтому, схему Горнера удобно применять для отыскания целых корней приведенных уравнений высших степеней с целыми коэффициентами и для разложения многочленов на множители.

Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.

4. Первичное закрепление.

На доске три человека решают для последующей проверки.

Найти корни уравнения по схеме Горнера: (уравнения записаны на доске)

а)   x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6=0;

Ответ: – 1; 2; – 3.

б) x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6=0;

Ответ: 1; 2; 3.

в) x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4=0.

Ответ: –4+√14; –4–√14; –2+√6; –2 –√6.

Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки.

5. Исследовательская работа учащихся.

– Ребята, вы не заметили, какие уравнения в основном мы разбирали на уроках?

– Да, это уравнения с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.

В каких числах получались ответы?

– Правильно, корни уравнений с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.

6. Итог урока

Какое уравнение называется целым уравнением стандартного вида?

Какие способы решения целых уравнений мы рассмотрели сегодня на уроке?

7. Задание на дом.

Слайд 8 Домашнее задание.

Выучить теорию данного урока.

Разобрать способ решения возвратных уравнений.

п. 14 стр. 75, № 182 (а – 1вар., б – 2 вар.), № 183 (а,б,д,е – 1 вар., в,г,ж,з – 2 вар.)

8. Рефлексия.

Продолжите фразу на розданных вам заготовках:

Мне понравилось на уроке ………………………..………………………………………………………

Я хорошо понял ……………………………………………………………………………………………

Мне очень трудно разобраться в …………………………………………………………………………

Мне нужна помощь в ……………………………...……………………………………………………….

Урок разработан по учебнику Макарычева Ю.Н. Дополнительные главы к учебнику алгебры. 9 класс.

Схема Горнера.

Схема Горнера.

Схема Горнера.

Схема Горнера.

Схема Горнера.

Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….	Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….
Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….	Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….
Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….	Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….
Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………….…….. ……………………………………………………….	Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в……………………………… ……………………………………………………….
Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….	Мне понравилось на уроке ……………………….. ……………………………………………………… Я хорошо понял …………………………………… ……………………………………………………… Мне очень трудно разобраться в ………………… ……………………………………………………… Мне нужна помощь в ……………………………... ……………………………………………………….