Презентация на тему "Уравнения с частными производными (II)"

Содержание

• 
  Слайд 1

  УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (II)

  Уравнения второго порядка

• 
  Слайд 2
  

  Одним из наиболее распространенных уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний.

• 
  Слайд 3
  

  Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения.

• 
  Слайд 4
  

  Двумерное волновое уравнение используется для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны).

• 
  Слайд 5
  

  Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидко- жидкости).

• 
  Слайд 6
  

  Рассмотрим одномерное волновое уравнение c начальными условиями

• 
  Слайд 7
  

  Рассмотрим явную разностную схему «крест» для решения данной задачи.

• 
  Слайд 8
  

  Заменим в уравнении вторые производные искомой функции U по t и х их конечно-разностными соотношениями.

• 
  Слайд 9
  

  Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (j + 1)-м слое:

• 
  Слайд 10
  

  Здесь, для определения неизвестных значений на (j + 1)-м слое нужно знать решения на j-м и (j — 1)-м слоях. Поэтому начать счет можно лишь для второго слоя.

• 
  Слайд 11
  

  решения на нулевом и первом слоях находятся с помощью начальных условий. На нулевом слое имеем

• 
  Слайд 12
  

  Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием. Производную заменим конечно-разностной аппроксимацией. Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом слое:

• 
  Слайд 13
  

  Построим неявную схему. Вторую производную по t в уравнении аппроксимируем, как и ранее, по трехточечному шаблону с помощью значений сеточной функции на слоях j - 1, j, j + 1.

• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15
  

  Из этого соотношения можно получить систему уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на (j + 1)-м слое:

• 
  Слайд 16

  ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  Интегральным уравнением называется уравнение, неизвестная функция в котором содержится под знаком интеграла. В общем случае интегральное уравнение имеет вид

• 
  Слайд 17
  

  Виды интегральных уравнений. Уравнения, в которые искомая функция входит линейно, называются линейными интегральными уравнениями.

• 
  Слайд 18
  

  Одним из них является уравнение Фредгольма первого рода Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

• 
  Слайд 19
  

  уравнение Вольтерра первого рода: уравнение Вольтерра второго рода

• 
  Слайд 20
  

  Для решения линейных интегральных уравнений строится итерационный процесс, аналогичный методу простой итерации для нелинейного уравнения.