Содержание
-
Двугранный угол, решение задач
Урок по геометрии в 10 классе разработан по учебнику Л.С.Атанасяна.
-
Цель урока:
Сформировать у обучающихся конструктивный подход по выработке умений и навыков находить угол между плоскостями.
-
Вид урока: изучение и первичное закрепление новых знаний
Оборудование: компьютер, проектор, слайды, чертежные инструменты, цветные мелки.
-
Решение задач по готовым чертежам на слайдах:
ABCD – прямоугольник, BF ┴ (ABC). Найдите ∟(DC). А D C B F
-
ABCD – прямоугольник, BF ┴ (ABC). Найдите ∟(DC). ∟ (СD)= ∟FCB А D C B F
-
А А1 С С1 В1 D D1 B N M ABCD – паралле- лограмм,АА1┴(ABC). Найдите ∟(СDАМ).
-
А А1 С С1 В1 D D1 B N M K ∟ CDAM= ∟ MKB
-
А С В D О ∆АВС, АС=АВ, О – центр вписанной окружности. Найдите ∟((АВС),(ВСD)), ∟ ((ABC),(ACD)).
-
А С В D О ∆АВС, АС=АВ, О – центр вписанной окружности. Найдите ∟((АВС),(ВСD)), ∟((ABC),(ACD)). P L ∟((ABC),(BCD))= ∟ DPO ∟((ABC),(ACD))= ∟DLO
-
Работа по вариантам:
А С В А С В А С В F F F ∆АВС прямоугольный (С= 90º) ∆АВС равнобедренный ∆АВС тупоугольный (С> 90º)
-
А С В А С В А С В F F F ∆АВС прямоугольный (С= 90º) ∟(BC)= ∟ACF ∆АВС Равнобедренный ∟(BC)= ∟FPA ∆АВС тупоугольный (С> 90º) ∟(BC)= ∟APF Р Р
-
А D С В F F A D B C FB┴(ABC) ABCD - прямоугольник FB┴(ABC) ABCD - параллелограмм Найдите угол между (АВС) и (FDC); Найдите угол между (AFB) и (FBC).
-
А D С В F F A D B C FB┴(ABC) ABCD - прямоугольник FB┴(ABC) ABCD - параллелограмм ∟((ABC), (FCD))=∟FCB б) ∟((AFB),(FBC))=∟ABC К а)∟((ABC), (FCD))=∟FKB б) ∟((AFB),(FBC))=∟ABC
-
а) РАВС - пирамида; ∟АСВ=90º; (РВ) ┴ (АВС) Доказать: ∠ РСВ - линейный угол двугранного угла с ребром АС. В А С Р ВС┴АС РВ ┴(АВС) РС ┴ АС => ∠РАСВ= ∠РСВ
-
в) РАВС - пирамиDа; АВ=ВС; D- сереDина АС; (РВ) ┴ (АВС); Dоказать: ∟РDВ - линейный угол Dвугранного угла с ребром АС. В Р А С D ΔАВС – равнобед- ренный, D – середина АС, значит: ВD┴АС. ВD┴АС РВ ┴(АВС) РD ┴ АС => ∠РАСВ= ∠РDВ
-
с) РАВСD - пирамида; (РВ) ┴ (АВС); (ВК) ┴(DС); Доказать: ∠РКВ - линейный угол двугранного угла с ребром СD. А В D С Р К ВК┴РС РВ ┴(АВС) РК ┴ DС => ∠РСDВ= ∠РКВ
-
а) РАВС - пирамида; основание - правильный треугольник; Какой из отмеченных углов является линейным уголом двугранного угла с ребром АС, если: D – середина АС, (РВ) ┴ (АВС). Р D С В А
-
в) Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения медиан треугольника АВС, (РО) ┴ (АВС); ∠РАСВ - ?
-
Р А С В О К ВК-медиана, => ВО ┴АС РО ┴ АВС => РК ┴ АС ΔАВС-правильный ВК - высота ∠РАСВ =∠РКВ
-
с) Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – середина АВ, (РО) ┴ (АВС); ∠РАСО - ?
-
А С Р В О Н К АВ=ВС => КО ┴АС РО ┴ АВС => КР ┴ АС ВН ┴АС КО║ВН ∠РАСВ =∠РКО
-
D) Дан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если: (РВ) ┴ (АВС); ∠ВСDР - ?
-
А Р D С В ВС ┴СD РВ ┴ АВС => РС ┴ СD Значит: ∠ВСDР= ∠ВСР АВСD-прямоугольник
-
ОͼАВ; (РО) ┴ (АВС). е)Дан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если: ∠ОСDР - ?
-
А Р D С В О Н Значит: ∠ОСDР= ∠РНО РО ┴ АВС => РН ┴ СD АD ┴СD ОН║АD ОН┴СD =>
-
О – точка пересечения диагоналей АВСD, (РО) ┴ (АВС). f)Дан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DС, если: ∠ОСDР - ?
-
А Р D С В О Н АD ┴СD ОН║АD ОН┴СD => Значит: ∠ОСDР= ∠РНО РО ┴ АВС => РН ┴ СD
-
g) Дан ромб АВСD; (РС) ┴ (АВС). Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD. С В А D
-
Р С В D А АВСD- ромб=> СА┴ВD, СА∩ВD=О=> ОС ┴ВD Значит: ∠РВDС= ∠РОС РС ┴ АВС => РО ┴ ВD О
-
i) Дана трапеция АВСD; ∠ВАD=90º; Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если: (РВ) ┴ (АВС). С D А В АD║ВС ∠ВАDР - ?
-
Р D В С А ВА ┴АD РВ ┴ АВС => РА ┴ АD Значит: ∠ВАDР= ∠ВАР
-
k) Dана трапеция АВСD; ∠ВАD=90º; Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если: О ВС; (РО) ┴ (АВС). ∠ВАDР - ?
-
Р D В С А Значит: ∠ВАDР= ∠ОКР О К АВ ┴АD ОК║АВ ОК ┴АD => РО ┴ АВС => РК ┴ АD
-
l) Dана трапеция АВСD. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если: АВ=СD, (РВ) ┴ (АВС). А D С В Н
-
В D С А Н Р ВН ┴АD РВ ┴ АВС => РН ┴ АD Значит: ∠ВАDР= ∠ВНР
-
АВСD — равнобокая трапеция; АВ=СD, (РС) ┴ (АВС); m) Dана трапеция АВСD. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если:
-
С А В D Н Р СН ┴АD РС ┴ АВС => РН ┴ АD Значит: ∠САDР= ∠СНР
-
Вычислительные задачи.
-
а) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: (РВ) ┴ (АВС); ∠АСВ = 90º; ВС = РВ = 4
-
А С Р В АС ┴ВС РВ ┴ АВС => РС ┴ АС Значит: ∠ВАСР= ∠ВСР 1)
-
С В Р 4 4 2) ВР=ВС =>ΔСВР - равнобедренный, ∠С = ∠Р = 45° Ответ: ∠ВСР = 45°
-
в) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: (РВ) ┴ (АВС); АВ = ВС = 5 ; ВР = АС = 6 ; Р А В С 5 5 6 6 ∠РАСВ-?
-
Р А В С Н АС ┴ВН РВ ┴ АВС => РН ┴ АС Значит: ∠ВАСР= ∠ВНР 1) 5 5 6 6 6
-
А В С Н 5 5 6 3 3 2) ΔАВС -равнобедренный, ВН - высота, значит: ВН- медиана, АН=НС=3, ΔВНС - прямоугольный, ВН2=ВС2-НС2, ВН=4
-
Р А В С Н Значит: ∠ВАСР= ∠ВНР 1) 5 5 6 6 6 4
-
Р Н В 4 6 3) ΔРВН - прямоугольный, tg∠Н = РВ / ВН, tg ∠Н = 6/4=1,5 Ответ: ∠РАСВ = arctg 1,5
-
с) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: ΔАВС — правильный треугольник; АВ = 6; О — точка пересечения медиан АВС; (РО) ┴ (АВС); А О Р В С РО = √3 ∠РАСВ-?
-
Р А С В О К ВК - медиана, => ВО ┴АС РО ┴АВС => РК ┴ АС ΔАВС -правильный ВК - высота ∠РАСВ =∠РКВ 1) РО = √3 КО - ?
-
С В К О А 2) ΔАВС - правильный, О - точка пересечения медиан, значит: ОВ=2ОК. Найдем ВК. ΔВКС: ВК2 = ВС2-КС2; ВК2 = 27; ВК =3√3 6 3 ВК = 3ОК, ОК = √3
-
Р А С В О К ВК - медиана, => ВО ┴АС РО ┴АВС => РК ┴ АС ΔАВС -правильный ВК - высота ∠РАСВ =∠РКВ 1) РО = √3 КО = √3
-
3) ΔРОК - прямоугольный, ∠О = 90°, РО = ОК, значит ∠Р = ∠К = 45°. Р К О Ответ: ∠РАСВ = 45°
-
D) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: АВС — правильный треугольник; О — середина АВ; АВ = 6; (РО) ┴ (АВС); РО = 4 ; В А С Р О ∠РАСВ-?
-
А С В О Н К 1) ВН - высота правильного ΔАВС, ВН┴АС ОК║ВН => ОК┴АС
-
В А С Р О К ОК ┴АС РО ┴АВС => РК ┴ АС ∠РАСВ =∠РКО 2)
-
А С В О Н К 3) ВН - высота правильного ΔАВС, 6 Найдем ВН. ΔВНС: ВН2 = ВС2-НС2; ВН2 = 27; ВН =3√3 3
-
А С В О Н К 6 ВН =3√3 ΔАВН, О - середина АВ, ОК║ВН => ОК -средняя линия, ОК=ВН/2 ОК=
-
О К Р 6 4) ΔРОК; ∠С = 90°, tg ∠К = РО/ОК, tg ∠К = 4/√3 ∠РАСВ = arctg 4/√3 Ответ:
-
е) АВСD — прямоугольник; ВD = 4√3 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; Двугранный угол с ребром DС равен 60º ; Найти стороны прямоугольника. В Р А С D
-
В Р А С D 1) ∠РDСВ=60° ВС ┴СD РВ ┴ АВС => РС ┴ СD Значит: ∠РDСВ = ∠РСВ = 60° ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠РСВ = 60° 6 60° 4√3
-
В Р С 6 60° 2) ΔРВС, ∠В = 90°, tg ∠С =РВ/ВС, √3 = 6/ВС, ВС = 6/√3 = 2 √3
-
В Р А С D ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠РСВ = 60° 6 60° 4√3 2√3
-
В С D 4√3 2√3 3) ΔВСD;∠С = 90°, СD2 = ВD2 - СD2; СD2 = 16•3-4•3; СD2 = 36; СD = 6 Ответ: АВ = СD =6; ВС = АD = 2√3.
-
f) АВСD — прямоугольник; площадь АВСD равна 48 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; DС = 4 ; Найти величину двугранного угла с ребром DС. В Р А С D 6 4 ∠РDСВ - ?
-
В Р А С D 6 4 ∠РDСВ - ? 1) ВС ┴СD РВ ┴ АВС => РС ┴ СD Значит: ∠РDСВ = ∠РСВ S(АВСD)=48, РВ = 6, СD = 4.
-
2) АВСD - прямоугольник S(АВСD) = АВ•ВС = 48, АВ = СD = 4, 4•ВС = 48, ВС = 12.
-
В Р А С D 6 12 3) ΔРВС; ∠В = 90°, tg ∠С = РВ/ВС, tg ∠С = 0,5 Ответ: ∠РDСВ = arctg 0,5
-
g) АВСD — ромб; ВD = 4 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; Найти площадь ромба. А В С D h a Sромба = a • h , Sромба =d1 • d2:2 d1 d2 4
-
(РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; 2) D А В С Р АО ┴ВD РС ┴ АВС => РО ┴ СD Значит: ∠РВDС = ∠РОС = 45º О 45º
-
45° Р О С 8 3) ΔРСО; ∠С = 90°, ∠О = 45° => ∠Р = 45°, ОС = РС = 8.
-
А В С D Sромба =d1 • d2:2 d1 d2 4 4) d1 = 2ОС = 16, d2= 4, Sромба =d1 • d2:2 S = 32 Ответ: 32 О
-
К) АВСD- параллелограмм; ∠АDС = 120º; АD = 8 ; DС =6 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь АВСD . А В С D 8 120° 6 Н Sпарал-ма= a • h a h Sпарал-ма= a • b•sin∠(a,b) b
-
1) А В С 8 120° 6 h Sпарал-ма= a • b•sin∠(a,b) S(АВСD)= 8 • 6 •sin 120° =24√3. D Н Sпарал-ма= a • h h = Sпарал-ма/ a h =24 √3 / 8 h =3 √3
-
2) A B C D P H (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD CH┴AD РС ┴ АВС => РH┴ СD Значит: ∠РADС = ∠РHС 9 3 √3
-
9 3 √3 P C H 3) ΔРCH; ∠C = 90°, tg ∠H = РC/HС, tg ∠H = 3/ √3 = √3 ∠H = 60° Ответ: ∠РADC = 60°, S(АВСD)=24√3.
-
Задача №2 (а)
Ребро- TM, грани:PTM, TMK; В граниKTM: KH┴TM, где H-середина TM (по свойству р\б ∆) В граниPTM: в грани KMH:QL ‖ KH(по построению) KH ┴TM(подоказанному) =>QL┴TM (по лемме о связи ┴ и ‖); в грани PMT: PL┴TM(по т. о 3х ┴) ﮮ(PL;QL)=ﮮPLQ является линейным для данногодвугранного Ответ: ﮮPLQ – линейный для двугранного PTMK "Перпендикулярность плоскостей. Двугранный угол" Тема №5 Дано:KMPT-тетраэдр;∆TMK правильный;Q-середина KM,Q-проекция P на TMK Указать: линейный угол длядвугранного угла PTMK K T M P H L Q
-
Задача №2 (в)
Ребро- KT, грани:PKT, KTM; В граниMKT: MX┴KT, где Х-середина KT(по свойству р\б ∆) QY ‖ MX (по построению) MX┴KT (по доказанному) =>YQ┴KT(по лемме) В граниKTP: PY ┴ KT (пот. о 3х ┴) ﮮ(PY;YQ)=ﮮPYQ линейный для PKTM Ответ: ﮮPYQ – линейный для двугранного PKTM "Перпендикулярность плоскостей. Двугранный угол" Тема №5 Дано:KMPT-тетраэдр;∆TMK правильный;Q-середина KM,Q-проекция P на TMK Указать: линейный угол длядвугранного угла PKTM K T M P х Y Q
-
Дополнительная задача:
COS ∟ FBCD=COS∟OKF BF=5, BC=6 ∆BFK; ∟BKF=90º FK=^25-9= =^16=4 COS∟OKF=OK/FK= =3/4=0,75 ∆OFK; ∟FOK=90º F C B A D K O
-
A М С H К O D Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проектируется на биссектрису третьего плоского угла .
-
Решение задач:
Боковая поверхность треугольной пирамиды равна S, а каждое из боковых ребер l. Найдите плоские углы при вершине, зная, что они образуют арифметическую прогрессию П/3.
-
Проверка:
L,B,Y; B=L+П/3; Y=B+П/3=L+2П/3 YП/3 Итак, L>П/3, но B=L+П/3>2П/3; Y=L+2П/3>П/3+2П/3 Вывод: такого угла не существует.
-
Дополнительная задача:
Все грани параллелепипеда равные ромбы со стороной a и острым углом 60º. Найдите высоту параллелепипеда.
-
Домашнее задание:
п. 22,23. Изучить определение перпендикулярных плоскостей, теорему
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.