Презентация на тему "«Производные» 10 класс алгебра"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Применение производной к исследованию функций

  Производная и экстремумы. Исследование функций на монотонность. Урок в 10-3 классе. Учитель – Ирина Геннадьевна Рубцова МОУ лицей №18 г. Калининграда 1 5klass.net

• 
  Слайд 2

  Теоретическая разминка

  Кое-что о свойствах функций. 2

• 
  Слайд 3

  1.Закончите формулировки утверждений:

  А) функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве ХCD(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1

• 
  Слайд 4

  2.Выберите верное утверждение:

  А) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если для всех х≠х0 выполняется неравенство f(х)

• 
  Слайд 5

  3. Определите знаки производной функции у=f(х) в отмеченных точках.

  5 0 В А С Е F G H К Х

• 
  Слайд 6

  1.Ответы:

  А) функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве ХCD(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1

• 
  Слайд 7

  2. Верное утверждение:

  В) Точку х0 называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х≠х0 , выполняется неравенство f(х)

• 
  Слайд 8
  

  3. Ответы :производная равна нулю в точках В, D, Н; положительна в точках С, G; отрицательна в точках А, Е и не существует в точках F,K.

  8 А В С D Е F G H K X Y 0

• 
  Слайд 9

  Применение производной для исследования функций.

  Определенно, существует тесная связь между свойствами функции и ее производной. Но какая – предстоит найти. Итак, … 9

• 
  Слайд 10

  Задание 1.

  Опишите характер монотонности функций в окрестностях точек х = а и х = b. Являются ли точки с абсциссами а и bэкстремумами данных функций? Как ведут себя касательные к графикам этих функций в указанных точках? Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках. Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке. 10

• 
  Слайд 11
  

  Теорема. Если функция у=f(х) имеет экстремум в точке х=х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

  у х2 х1 х3 х 0 11

• 
  Слайд 12

  Новые термины:

  Стационарная точка – внутренняя точка области определения функции, в которых производная равна нулю. Критическая точка – внутренняя точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует. 12

• 
  Слайд 13

  Задание 2.

  Найдите точки, в которых функция у = х3 - 3х + 1может иметь экстремумы. Решение: f ‘(x)=3x2 - 3. f ‘(x) существует при всех значениях аргумента. f ‘(x)=0 при х=1 и х=-1. Эти точки могут быть точками экстремума. 13

• 
  Слайд 14
  

  Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте: является ли указанное условие достаточным для существования экстремума в данной точке?

  А В а b 0 14 а- стационарная точка b – критическая точка

• 
  Слайд 15
  

  Вывод: при переходе через точку экстремума характер монотонности функции меняется

  Вопрос: как связаны монотонность функции и производная? 15

• 
  Слайд 16
  

  Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте выводы.

  у у х х 0 0 У=f(х) У=g(х) х1 х2 х1 х2 a b a b Рис.1 Рис. 2 16

• 
  Слайд 17

  Сравните свои выводы со следующим утверждением:

  Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х. 17

• 
  Слайд 18

  Сравните формулировки теорем:

  Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х. Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна (соответственно неположительна) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает (соответственно убывает) на Х. 18

• 
  Слайд 19

  Обобщаем информацию и делаем выводы.

  Чтобы точка х=х0 была точкой экстремума функции, достаточно, чтобы: ………( ваше мнение?) 19

• 
  Слайд 20
  

  у х2 х1 х3 х 0 20

• 
  Слайд 21

  Теорема (достаточные условия экстремума).

  Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда: а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при xx0 - неравенство f ‘(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x); б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x0 - неравенство f ‘(x)

• 
  Слайд 22

  Решите задачу:

  На рисунке – эскиз графика функции у=f'(х) ( график производной функции у=f(х)). Укажите: Промежутки монотонности функции у=f(х); Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс; Стационарные и критические точки; Точки минимума и максимума. х0 х1 х2 0 у х х3 х4 У=f'(х) 22 х5

• 
  Слайд 23

  Ответы :

  Функция возрастает на промежутках [x0;x2] и [x2;x4] Точки, в которых касательная к графику функции у=f(х) параллельна оси абсцисс: х0, х2, х4. Стационарные точки: х0, х2, х4. Критическая точка: х5; Точка минимума- х0, максимума – х4. х0 х1 х2 0 у х х3 х4 У=f'(х) 23 х5

• 
  Слайд 24

  Успехов!

  Спасибо за внимание! 24