Презентация на тему "Предел функции" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Предел функции

  Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности.

• 
  Слайд 2
  

  Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке . Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

• 
  Слайд 3
  

  Случай 1. А

• 
  Слайд 4
  

  Случай 2. А

• 
  Слайд 5
  

  Случай 3. А В этом случае говорят, что функция непрерывна в точкеа

• 
  Слайд 6
  

  A

• 
  Слайд 7

  Предел функции в точке

  y 0 х х0 А δ окрестность точки x0 ε окрестность точки А Геометрический смысл предела: для всех х из δ– окрестности точки x0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А +ε , у = А -ε .

• 
  Слайд 8
  

  Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке , то в таком случае функцию называют непрерывной. График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков».

• 
  Слайд 9
  

  Функцию называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямойявляются: Функция непрерывна на луче функция непрерывна на промежутках

• 
  Слайд 10
  

  Число b называется пределом функции в точке а, если для всех значений х , достаточно близких к а и отличных от а, значение функции f(x) сколь угодно мало отличается от b. Если функция f (x) имеет предел в точке х, то этот предел единственный. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

• 
  Слайд 11
  

  х →0 11

• 
  Слайд 12
  

  Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x)получаются выражения вида: то предел будет равен:

• 
  Слайд 13
  

  Примеры  . Вычислите:

• 
  Слайд 14
  

  Теорема 1. Предел суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

• 
  Слайд 15
  

  Теорема 2. Предел константы равен самой этой константе.

• 
  Слайд 16
  

  Теорема 3. Предел произведения 2-х функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

• 
  Слайд 17
  

  Теорема 4. Предел отношения 2-х функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от 0:

• 
  Слайд 18
  

  Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

• 
  Слайд 19
  

  Теорема 6. Предел степени переменного равен той же степени предела основания:

• 
  Слайд 20

  Вычисление пределов

  Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

• 
  Слайд 21
  

  . достаточно числитель и знаменатель дроби разделить на множители, и затем сократить на множитель, приводящий к неопределенности.

• 
  Слайд 22

  Раскрытие неопределенностей

  Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

• 
  Слайд 23
  

  Вычислите

• 
  Слайд 24
  
• 
  Слайд 25

  Односторонние пределы

  В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0(слева от x0), большим, чем x0(справа от x0), или колеблясь около точки x0. Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ>0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

• 
  Слайд 26
  

  Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если Предел справа записывают так: y 0 х А1 х0 А2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2 y 0 х А1=А2=А х0