Содержание
-
Работа Сизовой Натальи Владимировны МОУ «Лицей №3» г. Сарова Персональный идентификатор: 233-169-667 pptcloud.ru
-
Производная
Автор Сизова Н. В., г. Саров
-
Историческая справка
-
Тайны планетных орбит. Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси. А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось. Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.
-
В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному. В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное. Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.
-
Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день. Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений. В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному. Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.
-
Повторение
-
Определение 1 Окрестностью точки называется интервал где δ – радиус окрестности. Определение 2 Функция называется бесконечно малой при ,если для любого ε> 0 существует проколотая окрестность точки а, на которой выполняется неравенство Определение 3 Число b называется пределом функции при , если , где - бесконечно малая функция при
-
Тема урока Понятие производной функции в точке
-
Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница! Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1), изображённый в разных масштабах.
-
Как изменилась конфигурация графика?
-
Определите радиус окрестности точки х = 1 Как изменилась конфигурация графика?
-
Существуют ли другие функции, графики которых обладают таким же свойством?
-
-
-
Основные выводы 1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1). 2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки. 3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д. Такое свойство функций называют «линейность в малом»
-
Cвойство «линейности в малом». Выразим это свойство на языке формул. Как перевести на математический язык слова «увеличить масштаб»? Радиус окрестности точки x0 уменьшается. х х0
-
х х0 Изменим x0 на величину ∆x. ∆x - называется приращением аргумента. x0+ ∆x x0- ∆x x – новое значение аргумента
-
На какую величину изменится значение функции при переходе от точки к точке ? x y 0 х0 M х0 + ∆х ?
-
Величина y(x) – y(x0) называется приращением функции в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .
-
Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x0 к точке x = x0 + Δx, нужно: 1. найти значение функции f(x0); 2. найти значение функции f(x0 + Δx) 3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)
-
Почему график функции y = x2 «выпрямляется», если мы увеличиваем масштаб?
-
Найдите приращение функции y = x2в точке x0 = 1 Как изменяется слагаемое (∆х)2при приближении к точке х = 1? (∆х)2стремится к нулю быстрее, чем ∆х . Следовательно, при малых значениях ∆х величиной (∆х)2 можно пренебречь, следовательно
-
т.к. С другой стороны Таким образом,
-
Чем меньше ∆x, тем теснее в точке М(1;1) парабола примыкает к прямойy = 2x – 1. Или, парабола касается прямой y = 2x – 1в точке М. В этом и заключается причина «выпрямления» графика функции y = x2при увеличении масштаба.
-
Рассмотрим приращения нескольких функций и выясним, есть ли закономерности в их структуре.
-
Найдите приращение функции в точке :
-
Заметим, что приращения рассмотренных нами функций можно представить в виде суммы двух слагаемых.
-
-
Определение Величина α пренебрежимо мала по сравнению с ∆х, если
-
-
Определение Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если её приращение в этой точке можно представить в виде где α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х, А – некоторое действительное число.
-
Что такое коэффициент А?
-
Значит, где - б. м. ф. при по определению предела функции в точке. Выразим из равенства коэффициент А
-
Определение Производной функции y = f(x) в точке x0называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Операция отыскания производной функции называется дифференцированием.
-
Рассмотрим пример из физики, который также приводит к понятию производной.
-
Пусть тело движется по закону Надо найти скорость движения на промежутке времени Если то
-
Используя определение, найдите производные функцийв точке :
-
Чтобы найти производную функции в точке, надо: найти приращение функции в точке ; найти отношение приращения функции к приращению аргумента; вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
-
Найдите производные следующих функций в точке :
-
Что узнали на уроке? 1) Величина называется приращением функции в точке и обозначается 2) Функция называется дифференцируемой в точке если её приращение в этой точке можно представить в виде где α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х. 3)Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. 4) Чтобы найти производную функции, надо: найти приращение функции в точке; найти отношение приращения функции к приращению аргумента; вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.