Презентация на тему "теорема синусов и косинусов" 9 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теорема косинусов.Теорема синусов.

  Доклад подготовил ученик 9 «В» класса Полутов Вадим

• 
  Слайд 2

  Теорема косинусов.История.

  Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

• 
  Слайд 3
  

  Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).

• 
  Слайд 4
  

  В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

• 
  Слайд 5

  Теорема косинусов

  Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

• 
  Слайд 6
  

  Доказательство: Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b. Докажем, например, что: Введем систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Тогда точка B имеет координаты (c;0), а точка Cимеет координаты (bcosA; bsinA). По формуле расстояния между двумя точками получаем: BC2 = a2= (bcosA-c)2+ b2sin2A= b2cos2A+ b2sin2A-2bccosA+c2=b2+c2-2bccosA Теорема доказана. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABCугол A прямой, тоcosA=cos900 = 0 и по формуле Получаем: a2 = b2+c2, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

• 
  Слайд 7
  
• 
  Слайд 8
  
• 
  Слайд 9

  Теорема синусов.История.

  Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-ДинАт-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере Насир ад-ДинАт-Туси 

• 
  Слайд 10

  Теорема синусов

  Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

• 
  Слайд 11
  

  Доказательство: Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b. Докажем, что По теореме о площади треугольника: S=1/2absinC, S=1/2bcsinA, S=1/2casinB Из первых двух равенств получаем: 1/2absinC=1/2bcsinA, откуда = . Точно также из второго и третьего равенств следует: = . Итак, . Теорема доказана.

• 
  Слайд 12
  

  Замечание:Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место равенства Где R – радиус описанной окружности.

• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!