Презентация на тему "Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. 11 класс"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  МОУ Теньгушевская средняя общеобразовательная школа Алгебра 11 класс.Тема: Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.Цель: Углубить ЗУН учащихся по теме: Исследование функций с помощью производной. Показать практическое приложение производной.

  Учитель – методист: Анна Павловна Родина

• 
  Слайд 2

  С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а

  1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции. а) а) б) б) 2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум. а) а) б) б) 3.Найти все значения а, при которых для всех действительных значений х, если

• 
  Слайд 3

  Признаки возрастания и убывания функции.

  Теорема 1. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а;в), возрастает в этом интервале, то производная в точках интервала (а;в) принимает либо положительное значения, либо в отдельных точках равна нулю. Доказательство: Пусть на (а;в) функция y=f(x) возрастает. Возьмем х (а;в), так чтобы а х в т.к. f(x) возрастает, то Тогда

• 
  Слайд 4
  

  Теорема 2. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а;в), убывает в этом интервале, то производная в точках этого интервала принимает либо отрицательные значения либо в отдельных точках равна нулю.

• 
  Слайд 5

  Теорема Лагранжа

  Если функция непрерывна на сегменте [а;в] и внутри него имеет производную, то найдется такое значение х=с (а

• 
  Слайд 6

  Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

  Формула имеет интересный геометрический смысл: если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге всегда найдется такая точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту дугу. у М В А а с в х

• 
  Слайд 7
  

  Теорема 4. Если функция дифференцируема на интервале (а;в) и для всех , то функция возрастает на интервале (а;в). Доказательство: 1) Пусть и 2) где . т.к. на (а;в)

• 
  Слайд 8

  Интервалы монотонности

  Решение: + + -

• 
  Слайд 9

  Необходимое условие существования экстремума функции.

  Теорема Если функция имеет производную в каждой точке интервала (а;в), то в точке экстремума производная равна нулю. Доказательство: Пусть , с – точка экстремума. Доказать, что . Пусть с – точка максимума. Тогда при выполняется . 1)если , то 2)если , то Итак:

• 
  Слайд 10
  

  Пример 1. Найти экстремумы функции. Решение: Пример2. . Найти экстремумы функции. Решение: 1) 2) - Не имеет корней

• 
  Слайд 11

  Достаточные условия существования экстремума.

  Теорема 1. Пусть функцияимеет производную в каждой точке некоторого интервала и пусть точка этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой окрестности точки слева от точки с производная положительна, а справа – отрицательна, то в точке с функция имеет максимум. Доказательство: Т.к. на (а;в) существует , то функция непрерывна.

• 
  Слайд 12
  

  Теорема 2. Пусть функция имеет производную в точке интервала и пусть точка этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой окрестности точки слева от точки с производная отрицательна, а справа – положительна, то в точке с функция имеет минимум. Теорема 3. нет экстремума

• 
  Слайд 13
  

  Теорема 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых производнаяне существует. Пример , при х=0 – точка минимума.

• 
  Слайд 14

  Приложения производной 1. Работа.

  Рассмотрим работу ,которую совершает заданная сила при перемещении по отрезку оси Ох. Если сила постоянна, то работа , где А - работа, F – сила, S - длина пути. Если сила меняется, то F=F(x). на нельзя точно вычислить как произведение но при т.е.силу можно считать производной работы по перемещению

• 
  Слайд 15
  

  2. Заряд Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока постоянна, то за время ток переносит заряд, равный . При силе тока,изменяющейся со временем по некоторому закону ,то произведение дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени ,т.е. . Значит сила тока является производной заряда по времени

• 
  Слайд 16
  

  3. Температура Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону Найти коэффициент линейного расширения при Найти промежутки расширения и сжатия стержня. Решение: 1) 2)

• 
  Слайд 17
  

  4 .Успехи ученика Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так отозвался о нем: «Он очень мало знает, но у него положительная производная». Что хотел сказать учитель? Да. Скорость приращения знаний у ученика положительна, а это есть залог того, что его знания возрастут. Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три разные кривые роста знаний.

• 
  Слайд 18

  Домашние задание:Тренажер: найти точки экстремума функции.