Презентация на тему "Методы решения"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Методы решения: 1. Использования свойств функций, входящих в уравнения: а) метод обращения к монотонности функции. б) метод использование свойства ограниченности функции. 2. Метод обращения к условию равенства обратных тригонометрических функций: а) одноимённых. б) разноимённых. 3. Метод замены переменной. а) сведение к однородному. б) сведение к алгебраическому с применением различных преобразований. на содержание

• 
  Слайд 2
  

  1) Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основываются исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы. ТЕОРЕМА 1. Если функция y= f(x) монотонна, то уравнение f(x)= c(c= cont) имеем не более одного решения. ТЕОРЕМА 2. Если функция y= f(x) монотонно возрастает, а функция y=g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного решения. ТЕОРЕМА 3. Если f(x)=c = g(x) (c= const), то на множестве Х уравнение f(x)= g(x) равносильно системе f(x)= c, g(x)= c. Методы решения

• 
  Слайд 3
  

  2arcsin 2x = 3arccos x. Решение. Функция у = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция у = 3arccos x - монотонно убывающей. Число х= 0,5 является, очевидно, корнем данкого уравнения. В силу теоремы 2 этот корень - единственный. Ответ: {0,5}.

• 
  Слайд 4
  

  Решение. Пусть .Тогда уравнение примет вид . Функции y=arctg z и y=arcsin z являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому Ответ: {- 1; 0}.

• 
  Слайд 5
  

  Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезке функцию Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что корень этого уравнения Поэтому решением неравенства является отрезок Ответ:

• 
  Слайд 6
  

  arcsin (x (x + y)) + arcsin (y (x + y)) = Решение. Поскольку arcsin t при |t | 1, то левая Часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно . Таким образом, уравнение равносильно системе: x(x+y)=1 y(x+y)=1 Решение последней системы не представляет труда. Ответ: Методы решения

• 
  Слайд 7
  

  2а) уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов, основываются, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y= arcsin t и y=arctg t монотонно вовозрастают, а функции y= arccos t и y= arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы: Методы решения

• 
  Слайд 8
  

  Методы решения

• 
  Слайд 9
  

  2б) Уравнения и неравенств, левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями. При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x)= arccos g(x). Предположим, что х0 –решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(x0)= arccos g(x0) через Методы решения

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  
• 
  Слайд 12
  
• 
  Слайд 13
  
• 
  Слайд 14
  

  Методы решения

• 
  Слайд 15
  

  3а) Замена переменной. Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций. Методы решения

• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17
  
• 
  Слайд 18
  

  Методы решения

• 
  Слайд 19
  

  3б) Уравнения и неравенства, сводимые к алгебраическим и тригонометрическим уравнениям и неравенствам. Методы решения

• 
  Слайд 20
  
• 
  Слайд 21
  

  Решите неравенство.

• 
  Слайд 22
  

  Методы решения