Презентация на тему "Параллельные прямые в пространстве" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Параллельные прямые в пространстве

  Методическая разработка к уроку геометрии 10 класс

• 
  Слайд 2
  

  Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a .

  Случаи взаимного расположения прямых в пространстве Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости). Параллельные прямые (лежат в одной плоскости). Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости)

• 
  Слайд 3

  Различия определения параллельности в планиметрии и стереометрии

  ПЛАНИМЕТРИЯ Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. aIIb СТЕРЕОМЕТРИЯ Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. aIIb

• 
  Слайд 4
  

  Теорема 1 Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

  Доказательство: 1. так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α. 2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b — точку A. 3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.

• 
  Слайд 5
  

  Теорема 2 Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

  Доказательство: 1. через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α. 2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну). 3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

• 
  Слайд 6
  

  Теорема 3 (Лемма) Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

  Доказательство: рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M Из 1-й теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β. Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома). Прямые a, b и c находятся в плоскости β. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c. Точку пересечения прямых a и c обозначим за K. Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.

• 
  Слайд 7

  Теорема 4 Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

  Доказательство “от противного” Дано: а║с и b║c. Доказать: а║b. Пусть b пересекает α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α. Пусть у прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Т. к. прямые a и b находятся в одной плоскости α, и у них нет общих точек, то они параллельны.