Презентация на тему "Решение неравенств методом интервалов"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение неравенств методом интервалов.

  Алгебра и начала анализа, 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

• 
  Слайд 2
  

  0 x y Пусть графиком функции y=f(x) являетсянекоторая гладкая кривая: y=f(x) Очевидно, что D(f)=E(f)=. Обратим свое внимание на значения аргумента x1,x2,x3,x4 – в этих точках график функции пересекает ось Ох или касается её. Это – так называемые нули функции (ординаты этих точек равны 0, т.е. f(x1)=f(x2)=f(x3)= =f(x4)=0). Аналитически их можно найти, решая уравнение f(x)=0. х4 х3 х2 х1

• 
  Слайд 3
  

  0 x y y=f(x) Точки x1,x2,x3,x4 разбивают область определения функции D(f) на промежутки знакопостоянства, т.е. промежутки, на которых функция имеет либо положительные значения (f(x)>0), либо отрицательные (f(x)0, при х(–; х1)(х2; х3) (х3; х4) и х2 х1 х3 х4 f(x)

• 
  Слайд 4
  

  Опираясь на эту геометрическую иллюстрацию, мы можем вывести алгоритм решения неравенств, получивший название «метод интервалов». Методом интервалов можно решить любое неравенство вида: f(x)0. При решении придерживаются следующей схемы (перепишите её в тетрадь!): Найти D(f); Найти нули функции, решая уравнение f(x)=0; Отметить на D(f) все полученные нули; Определить знак функции на каждом полученном промежутке; Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаком. Проиллюстрируем данную схему на нескольких примерах. Пример 1. Решите неравенство . Решение. Под функцией f(x) следует понимать выражение в левой части неравенства. Это дробно-рациональная функция. 1) D(f)=, кроме х= – 4; 2 (данные значения обращают знаменатель в нуль) .

• 
  Слайд 5
  

  2) Найдем нули функции. Значение дроби равно нулю, если числитель этой дроби равен нулю, т.е. х= –1; 3; 7 – нули функции. 3) Обратите внимание, что точки разрыва функции (–4 и 2) всегда на числовой прямой будут пустыми (или «выколотыми»), а нули функции – в зависимости от знака неравенства (если знак неравенства строгий, то точки пустые, если нестрогий, то обычные). –4 2 х –1 3 7 4) Для расстановки знаков на полученных промежутках можно поступить так: ■ разложить левую часть неравенства на линейные множители (как в нашем случае); тогда на крайнем справа промежутке знак определяется комбинацией угловых коэффициентов этих линейных множителей (в нашем случае все коэффициенты равны 1, т.е. получается комбинация ); + ■ на остальных промежутках (двигаемся от крайнего справа промежутка влево) знаки расставляются по правилу: знак по сравнению с предыдущим меняется, если показатель степени линейного множителя нечетный и не изменяется, если показатель степени линейного множителя четный. В нашем случае получается… (см.рис.). (х–3) (х–7) (х+1) (х–2)(х+4) 2 3 4 – – + – –

• 
  Слайд 6
  

  Вышеизложенный метод определения знаков на интервалах по сути опирается на понятие «кратных» корней. Если Вам этот термин не знаком, то можно воспользоваться другим способом: –4 2 х –1 3 7 + – – + – – ■ выбирая из каждого промежутка любое значение, подставляют в формулу, задающую данную функцию и определяют по полученной комбинации знак функции на каждом промежутке: а) –5(–; –4)  f(–5)= ; б) –2(–4; –1)  f(–2)= ; в) 0(–1; 2)  f(0)= ; г) 2,5(2; 3)  f(2,5)= ; д) 4(3; 7)  f(4)= ; е) 8(7; +)  f(8)= ; Как Вы можете убедиться – результат расстановки знаков такой же, как в предыдущем способе.

• 
  Слайд 7
  

  5) Остается записать ответ, выбрав промежутки соответствующие знаку неравенства. В нашем случае, знаку «» соответствуют промежутки со знаком «+». Важно не забыть х=3!!! –4 2 х –1 3 7 + – – + – – Ответ: х[–1; 2){3}[7; +). Пример 2. Решите неравенство. Решение. Перенесем все в левую часть неравенства:. 1) D(f)=, кроме х= – 1; 1, где f(x)= ; 2) Нулей функции нет, т.к. дискриминант квадратного трехчлена отрицательный; 3) х – 1 1 4) Проверьте себя, как Вы поняли правило расстановки знаков… + – –

• 
  Слайд 8
  

  5) Ответ: х(–1; 1). Пример 3. Решите неравенство sinx+cos(2x)>1. Решение. Перепишем неравенство в виде: sinx >1 – cos(2x). Используя формулы половинного аргумента, получим: sinx >2sin2xили 2sin2x– sinx