Презентация на тему "Выпуклость и вогнутость функции"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Выпуклость и вогнутость функции

  Презентация к уроку по учебнику «Алгебра и начала анализа, 10-11» под редакцией Ш.А.Алимова , § 53 Автор презентации Бартош Наталья Владимировна, учитель математики 587 гимназии г. Санкт-Петербурга

• 
  Слайд 2
  

  Вариант 1 Самостоятельная работа x³ y = e y = ln (x² +1) Построить график функции Вариант 2

• 
  Слайд 3
  

  x³ y = e

• 
  Слайд 4
  

  y = ln (x² +1)

• 
  Слайд 5

  Дана функция у = f(x)

  На интервале (а, b) функция у = f(x) непрерывна и дифференцируема, причем f'(x)>0 Постройте эскиз графика функции у = f(x) интервале (а, b) а b у

• 
  Слайд 6
  

  Чем отличается поведение линий? Одна из них – отрезок прямой Другая проходит над отрезком Третья – под отрезком А четвертая – частично над отрезком, частично под ним а b у

• 
  Слайд 7
  

  В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости и вогнутости графика функции

• 
  Слайд 8

  Выпуклость и вогнутость функции

  Геометрический смысл второй производной

• 
  Слайд 9

  Выпуклая вверх(выпуклая кривая)

  Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной у ах

• 
  Слайд 10

  Выпуклая вниз(вогнутая кривая)

  Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной у ах

• 
  Слайд 11

  Кривая выпуклая вверх на интервале(выпуклая)

  у 0a bх

• 
  Слайд 12

  Кривая выпуклая вниз на интервале(вогнутая)

  у 0a bх

• 
  Слайд 13

  Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

• 
  Слайд 14
  

  м1 м2 м3 α1 α2 α3 График функции у = f (х) – вогнутая кривая Величина углов α1, α2, α3… растет, увеличиваются и тангенсы этих углов В точках М1, М2, М3… проведены касательные α1

• 
  Слайд 15
  

  м1 м2 м3 α1 α2 α3 График функции у = f (х) – вогнутая кривая В точках М1, М2, М3… проведены касательные α10 Вывод: Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

• 
  Слайд 16
  

  α1 График функции у = f (х) – выпуклая кривая tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция f′(х) В точках М1, М2, … проведены касательные производная функции y= f ′(х) (f ′(х))′ = f ′′(х) -отрицательна, т.е. f ′′(х) α2 >α3 > … тангенсы углов α1, α2, α3… убывают Вывод: Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

• 
  Слайд 17
  

  Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута а если отрицательна – выпукла в этом промежутке

• 
  Слайд 18
  

  Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

• 
  Слайд 19

  Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции:

  Найти: Вторую производную Точки, в которых она равна нулю или не существует Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками Знаки второй производной в каждом интервале Если f'‘(х) 0 – вогнута.

• 
  Слайд 20

  Исследование функции с помощью второй производной

  Интервалы выпуклости: (-3, 0) и (2, 5) Интервалы вогнутости: (-∞, -3), (0, 2) и (5, +∞) -3 0 2 5 f х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба + - + - + f‘‘

• 
  Слайд 21
  

  График функции у = f (х) – вогнутая кривая График функции у = f (х) – выпуклая кривая «+» «-»

• 
  Слайд 22

  Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба

  Вариант 1 у = х³ - 12х + 4 Вариант 2 у = ¼ х4 – 3/2 х²

• 
  Слайд 23

  ПроверкаВариант 1

  у = х³ - 12х + 4 х – любое число f'(х) = 3х² - 12 f''(х) = 6х 6х = 0 х = 0 Интервалы выпуклости: (-∞, 0) Интервалы вогнутости: (0, +∞) - + f‘‘ 0 f х = 0 – точка перегиба

• 
  Слайд 24

  ПроверкаВариант 2

  у = ¼ х4 – 3/2 х² х – любое число f'(х) = х³ - 3х f''(х) = 3х² - 3 = 3(х – 1)(х + 1) х = 1 х = -1 Интервалы выпуклости: (-1, 1) Интервалы вогнутости: (-∞, -1) и (1, +∞) + - + f‘‘ -1 1f х = 1 и х = -1 – точки перегиба

• 
  Слайд 25

  Спасибо за работуУспехов!